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(2).(3)は模範解答では、2つの極形式を作り、かけたり
割ったりしているのですが、展開したり、分母を有理化してひとつの式にして解いても問題はないですか?
(4)はよく分かりません。教えてください。

「(2).(3)は模範解答では、2つの極形」の質問画像

質問者からの補足コメント

  • (4)の解答です。

    「(2).(3)は模範解答では、2つの極形」の補足画像1
      補足日時:2019/12/09 23:02

A 回答 (5件)

(2).(3)は、展開したり、分母を有理化してひとつの式にしても問題はないですよ


けれどもそれだと模範解答より計算が面倒かもしれません。偏角を求めるのに苦労することも有るかもしれません。
それに極形式でzを表わせという事ですから、初めから極形式にして計算した方が良いのです。

そこで、極形式およびその積・商について確認です

(2)を例に言うなら
・z1=1+√3iと置いた場合、これを複素数平面に表したものが下図です
実数部分1と虚数部分√3からZ1の位置が決まります
三平方の定理から赤線の長さは2です
またθは偏角(arg z1)です
三角比 cosθ=1/2 (またはtanθ=√3)からこの場合の偏角θ=60度です
このときz1=1+√3iを極形式で表わすと
Z1=赤線の長さx(cosθ+i・sinθ)=2(cos60+isin60)
と言うのは習いましたよね

ちなみにこの時
2(cos60+isin60)=2{1/2+i(√3/2)}=1+√3iというように極形式から元の形に戻ります

なお、極形式:2(cos60+isin60)における2は赤矢印の長さですが、z1の絶対値と呼ばれます
→|Z1|=2

・z2=(1-i)とおけば、同じ要領で作図すると赤線=√2 、θ=-45°(x軸から測って反時計回りの角度を+、時計回りの角度はマイナス で表わします)
ゆえに、z2=√2{cos(-45)+sin(-45)}
|z2|=√2



ここで、極形式同士の積についてです
理由はテキスト等を確認してもらうとして
z1とz2の積は絶対値が|z1|x|z2|(2つの極形式同士の絶対値(赤の長さ)を掛け算)になります→|z1|x|z2|=2√2・・・zの絶対値
偏角は、z1の偏角とz2の偏角の和です→60+(-45)=15・・・zの偏角
ゆえにz=2√2(cos15-sin15i)です 
(角度はご自分で、「°」から「ラジアン」に直してくださいませ、計算ミスはご容赦ください)
このように初めから極形式になおしてやると、計算が非常に楽です

(3)も同じ要領で極形式に直して
分子(Z1)=2(cos45+isin45)・・・分子絶対値:|Z1|=2
分母(Z2)=2{cos(-30)+isin(-30)}・・・分母絶対値:|Z2|=2
今度は極形式同士の商ですが、
絶対値は、絶対値同士の商(|Z1|/|Z2|)=2/2=1となります
偏角は2つの偏角の差となり 45-(-30)=π/4+π/6=5π/12 となりますから
Z=1(cos5π/12+i・sin5π/12)となります
こちらも有理化するよりはるかに楽なはずです

(4)
これも同じ要領です
z=sina+icosaの、sinαを数字だと思ってsina=S,cosa=Cとおけば
z=S+Ciと言う状態です
これを元にzを複素数平面に描いてください。
赤矢印の長さは三平方の定理より
|Z|=√(s²+c²)=√(sin²α+cos²α)=√1=1(∵sin²θ+cos²θ=1)
また、偏角θについては
tanθ=虚数部/実部=C/S=cosa/sina=1/tana(⇔tana=sina/cosa の逆数)
ゆえに三角比の公式
tan(90ーβ)=1/tanβにおいて
θ=90-β β=αと見て
θ=90-β=90-α と言う関係にあることが分かります
従ってaが鋭角なら zの絶対値と偏角θから極形式は
z=1{cos(90-a)+sin(90-a)}=cos(90-a)+i・sin(90-a)…① と求まります(ただしaが90°以下の場合のはなし)

αが90°越えなら、①は偏角90-aがマイナスになってしまい、問題冒頭にある
0≦偏角(θ)<2πに不適合です
ここで参考例、偏角θ=30-360°もθ=30度も、θ=30+360も 図示すれば同じ動径(半径)となるので、偏角は1通りには定まりません。・・・(偏角は360°おきに表される、つまり偏角は360度の倍数を加えても図形上は変わりがない)
これを踏まえて、複素数平面上では「αが90°越えのとき、①の偏角90-a(マイナス)」も完全な不正解とは言えないことが分かります。ただし、問題に適合するように補正が必要です
90<a<360なら
-360<-a<-90
辺々90をたして
-270< 90-a<0…②という状態ですから
偏角θ=90-αを0≦θ<360と言う条件に合うように360ど回転(360°足し算)です
②の辺々360を加えると
90<450-a<360ですから
補正後の偏角は450-a=5π/2-aです
従って、90<a<360では 偏角θ=(5π/2)-a 絶対値は1だから
Z=1[cos{(5π/2)-a}+i sin{(5π/2)-a}]=cos{(5π/2)-a}+i sin{(5π/2)-a}です

まずはこの仕組みを理解してください

理解したら、
(4)の模範解答は 単なる三角関数の公式を用いた変形の応用ですから
三角関数の公式集を見ながら
sina=cos(2nπ+π/2-a)

cosa=sin(2nπ+π/2-a)
と言う変形について研究してみてください
sin(90-θ)=cosθ
であることと
角度に360°の倍数をたしても、sinやcosの値が変わらないことを持ちいた変形なのでそんなに難しいことではありません

cos(2nπ+π/2-a)+sin(2nπ+π/2-a)=1{cos(2nπ+π/2-a)+i・sin(2nπ+π/2-a)}は極形式ですから
偏角θ=2nπ+π/2-a です
0≦θ<360(0≦2nπ+π/2-a<360)に合うようにするためには
aが90°以下なら
n=0です
αが90°~360ならn=1です
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この回答へのお礼

細かい説明ありがとうございます

お礼日時:2019/12/10 23:12

(2)(3)は、展開したり分母を有理化してひとつの式にして解いても別に間違いではないが、


手間が増えるし、場合によっては偏角を見つけられないかもしれないから、問題はアリアリ。
豪腕でちゃんと正解に至るなら、途中何をしてもよいのだけれど。

(4)は、三角関数を初めて習ったころを思い出して
z = sinα + i cosα = cos(π/2 - α) + i sin(π/2 - α) が導ければ、本質的には終わり。
z の偏角は π/2 - α で構わない... はずなんだが、偏角は 0 以上 2π 未満で表す
という奇妙なルールがあるから、それに合わせて場合分けが必要になるだけ。

0 ≦ α < 2π のとき -(3/2)π < π/2 - α ≦ π/2 だから、適当に 2nπ を足して
0 ≦ π/2 - α + 2nπ < 2π にしてやらなければならない。
それが、0 ≦ α ≦ π/2 のとき n = 0、π/2 < α < 2π のとき n = 1 だという話。
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この回答へのお礼

ありがとうございます!

お礼日時:2019/12/10 23:11

#2です


図を忘れました
下図を見ながら読んでください
「(2).(3)は模範解答では、2つの極形」の回答画像4
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ただ計算しなさいということならば、展開したり、分母を有理化したりで良いですが、問題は、「zを


極形式で表せ」です。問題の式は、極形式で表すことのできる形の式ですが、計算してしまってから極
形式で表そうとすると偏角θが求まりません。ですから、まず極形式で表してから、そのあとで計算し
て簡単にします。

(4) z=sinα+i cosα
極形式と似た感じの式ですが、
極形式は、z=a+bi をzの絶対値 r と偏角θ を使って、z=r(cosθ+i sinθ) と表したものです。

r=|z|=√(sin²α+cos²α)=1

偏角θは、cosθ==sinα/r=sinα , sinθ=cosα/r=cosα を満たすようなθです。
sinα=cos(π/2-α) , cosα=sin(π/2-α) なので、
θ=π/2-α とできますが、0≦θ<2π 、0≦α<2π という条件がありますので気を付けてください。
0≦α≦π/2 のときは、0≦θ<2π を満たすので適しますが、π/2≦α<2π のときは不適です。

π/2<α<2π のときは、cosx , sinx の周期は2πなので、
sinα=cos(π/2-α)=cos(π/2-α+2π)=cos(5π/2-α)
cosα=sin(π/2-α)=sin(π/2-α+2π)=sin(5π/2-α)
と考えて、θ=5π/2-α とすると、0≦θ<2π を満たします。

したがって、
0≦α≦π/2 のときは、z=cos(π/2-α)+isin(π/2-α)
π/2<α<2π のときは、z=cos(5π/2-α)+isin(5π/2-α)
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この回答へのお礼

わかりました!

お礼日時:2019/12/10 23:11

(4) はオイラーの公式を知っているかどうかが大きなポイントだと思う.



(2) と (3) は... 数学的に間違っていなければ, どんな手段を使ってもかまわない. 実際にやってみるといい.
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