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線形代数の問題についてです。
VをR上のm次元ベクトル空間とし、β = {v_1, v_2, …, v_m}をVの基底とする。f: U → V を線形写像とし、Aをφ,βに関するfの表現行列とする。
(1) r:= dim KerF, r>0とし、{p_1, p_2, … , p_rをKerFの基底とするとき、
{(u_1, u_2, … , u_n)p_1, (u_1, u_2, … , u_n)p_2,
… , (u_1, u_2, … , u_n)p_r}
はKerfの基底であり、dim Kerf = r であることをしめしなさい。
(2) s := dim ImF, s>0とし、{q_1, q_2, … , q_sをImFの基底とするとき、
{(v_1, v_2, … , v_m)q_1, (v_1, v_2, … , v_m)q_2,
… , (v_1, v_2, … , v_m)q_s}
はImfの基底であり、dim Imf= s であることをしめしなさい。
(1)と(2)における記法について

p_11
p_1 = p_21 であるとき、
.
.
.
p_n1
(u_1, u_2, … , u_n)p_1 = Σ(l=1からn)p_l_1u_l
である。
実際に回答を書いて見たので間違いがありましたら直してもらいたいです。お願いします。

「線形代数の問題についてです。 VをR上の」の質問画像

質問者からの補足コメント

  • すみませんm(__)m
    定義は上記の通りです。

    「線形代数の問題についてです。 VをR上の」の補足画像1
      補足日時:2019/12/11 22:20

A 回答 (4件)

2枚目の写真に φ と F の定義が出ているね。


質問は(1)(2)とのことだけど
1枚目の写真は(2)(3)の答案のようだから、
まずは(1)の解答を書いてみよう。

(1)
{ p_1, p_2, …, p_r } が Ker F の基底であるとき、
{ (u_1, u_2, …, u_n)p_1, (u_1, u_2, …, u_n)p_2,
…, (u_1, u_2, … , u_n)p_r } が Ker f の基底である
ことを示せと問題文で言われている。それを示せば
dim Ker f = dim Ker F は基底ベクトルの個数が同じ
であることから従う。

(u_1, u_2, … , u_n)p_1 = Σ(l=1..n)p_l_1 u_l
は奇妙な記法だが、写像 x→(u_1, u_2, … , u_n)x が
Ker F だけでなく R^n 上で定義されて
(u_1, u_2, … , u_n)x = (Φ_U^-1)x である
ことは解っただろうか?
(u_1, u_2, … , u_n)e_i の値を考えて、確認してほしい。

基底とは、その空間を張る一次独立なベクトルの組のことだが...
[1] { (u_1, u_2, …, u_n)p_1, (u_1, u_2, …, u_n)p_2,
…, (u_1, u_2, … , u_n)p_r } が Ker f を張ること。

x ∈ Ker f であるとき、X = Φ_U(x) と置くと、
F(X) = (Φ_V)f(Φ_U^-1)X = (Φ_V)f(x) = (Φ_V)0 = 0.
つまり X ∈ Ker F である。
よって X は Ker F の基底 { p_1, p_2, …, p_r } を用いて
X = Σ[i=1..r](x_i)p_i, (x_i は実数) と表される。
これを使って x は
x = (Φ_U^-1)X = (Φ_U^-1)(Σ[i=1..r](x_i)p_i)
= Σ[i=1..r](x_i)(Φ_U^-1)p_i
と表されることになる。
これは、{ (Φ_U^-1)p_1, (Φ_U^-1)p_2, …, (Φ_U^-1)p_r } が
Ker f を張るということである。

[2]{ (u_1, u_2, …, u_n)p_1, (u_1, u_2, …, u_n)p_2,
…, (u_1, u_2, … , u_n)p_r } が一次独立であること。

実数 x_i について
Σ[i=1..r](x_i)(Φ_U^-1)p_i = 0 が成り立つとすると、 ←[a]
Σ[i=1..r](x_i)p_i = Σ[i=1..r](x_i)(Φ_U)(Φ_U^-1)p_i
= (Φ_U)Σ[i=1..r](x_i)(Φ_U^-1)p_i = (Φ_U)0 = 0.
も成り立つ。
{ p_1, p_2, …, p_r } は一次独立だから、
x_1 = x_2 = ... = x_r = 0 である。 ←[b]
[a]から[b]が導けたので、
{ (Φ_U^-1)p_1, (Φ_U^-1)p_2, …, (Φ_U^-1)p_r } は
一次独立である。

[1][2]より、
{ (Φ_U^-1)p_1, (Φ_U^-1)p_2, …, (Φ_U^-1)p_r } は
Ker f の基底である。

Φ_U が同型射であることを用いた素直な証明になっていると思う。
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答案(3)プリント(iii)質問(2)は、


dim Im f = s を示すことについては、その方針でよいと思う。
前半は、それでバッチリ。後半は、もう少しちゃんと書く必要があるが。

dim Im f = s であること(dim Im F = s は所与の条件)の他に、
{ (v_1, v_2, …, v_m)q_1, (v_1, v_2, …, v_m)q_2,
…, (v_1, v_2, …, v_m)q_s } が Im f の基底であること
も示さねばならないので、No.2と似た方法で示してみよう。

(iii)
ここでも、(v_1, v_2, … , v_m)y = (Φ_V^-1)y であることを使う。

[3] { (v_1, v_2, … , v_m)q_1, (v_1, v_2, … , v_m)q_2,
…, (v_1, v_2, … , v_m)q_s } が Im f を張ること。

y ∈ Im f であるとすると、y = f(x) となる U の元 x が存在する。
Y = (Φ_V)y と置くと、
Y = (Φ_V)y = (Φ_V)f(x) = (Φ_V)f(x)(Φ_U^-1)(Φ_U)x = F(Φ_U)x.
よって Y ∈ Im F であり、
Y は Im F の基底 { q_1, q_2, …, q_s } を用いて
Y = Σ[j=1..s](y_j)q_j, (y_j は実数) と表される。
これを使って y は
y = (Φ_V^-1)Y = (Φ_V^-1)(Σ[j=1..a](y_j)q_j)
= Σ[j=1..a](y_j)(Φ_V^-1)q_j
と表されることになる。
これは、{ (Φ_V^-1)q_1, (Φ_V^-1)q_2, …, (Φ_V^-1)q_s } が
Im f を張るということである。

[4] { (v_1, v_2, … , v_m)q_1, (v_1, v_2, … , v_m)q_2,
…, (v_1, v_2, … , v_m)q_s } が一次独立であること。

実数 y_j について
Σ[j=1..s](y_j)(Φ_V^-1)q_j = 0 が成り立つとすると、 ←[c]
Σ[j=1..s](y_j)q_j = Σ[j=1..s](y_j)(Φ_V)(Φ_V^-1)q_j
= (Φ_V)Σ[j=1..s](y_j)(Φ_V^-1)q_j = (Φ_V)0 = 0.
も成り立つ。
{ q_1, q_2, …, q_s } は一次独立だから、
y_1 = y_2 = ... = y_s = 0 である。 ←[d]
[c]から[d]が導けたので、
{ (Φ_V^-1)q_1, (Φ_V^-1)q_2, …, (Φ_V^-1)q_s } は
一次独立である。

[3][4]より、
{ (Φ_V^-1)q_1, (Φ_V^-1)q_2, …, (Φ_V^-1)q_s } は
Im f の基底である。
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ああ、質問文では(1)(2)と書いてあるけれど、


プリントの(ii)(iii)のことなのか。
それが答案では(2)(3)と書かれていて...
ややこしいな。

答案(2)プリント(ii)質問(1)については、
> Ker F の基底を p = { p_1, p_2, …, p_r } としているので
> そこにベクトル (u_1, u_2, …, u_n) を追加して Im F の
> 基底であることを示す。
の時点で既に大混乱している。

Ker F は R^n の部分空間で、p_1, p_2, …, p_r はそのベクトル。
u_1, u_2, …, u_n は U のベクトル。
Im F は R^m の部分空間で、その基底は R^m のベクトル。
それぞれ異なる空間のベクトルなので、併せた集合を考えても意味がない。
U と R^n は同型射 Φ_U で移り合うとしても、R^m とはゴッチャにできない。

方針として、{ Fu_1, Fu_2, …, Fu_(n-r) } が Im F の基底であることを
示そうとしているようだが、ここでもベクトル空間どうしの混同が見られる。
F は R^n→R^m の写像で、u_i は U の元だから、Fu_i は定義されない。

Fu_i が実は F(Φ_U)u_i の意味だったとしても、
{ F(Φ_U)u_1, F(Φ_U)u_2, …, F(Φ_U)u_(n-r) } が Im F の基底
だとは限らない。
p_1, p_2, …, p_r と e_1, e_2, …, e_n の関係が判らないため、
p_1, p_2, …, p_r と (Φ_U)u_1, (Φ_U)u_2, …, (Φ_U)u_(n-r) が
一次独立とは限らないからだ。
{ F(Φ_U)u_1, F(Φ_U)u_2, …, F(Φ_U)u_(n-r) } が張る R^m の
部分空間は、Im F の一部でしかない可能性がある。
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また今度も φ の定義を書いてないなあ。



Ker F = Ker f は Ker F の定義、
Im F = Im f は Im F の定義のはずですが...
行列の Ker, Im をどのように定義したのですか?
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この回答へのお礼

すみません、定義は補足の写真の通り、
UをR上のn次元ベクトル空間、
φ={u_1, u_2, … , u_n}をUの基底とする。数ベクトル空間R^nの標準基底を{e_1, … , e_n}とする。このとき、線形写像Φ_u : U → R^nを
Φ_u(u_i) = e_i (i=1,2,…,n)
で定める
です。教科書見ながらやったのですが、文字記号が苦手なので訳が分からなくなってしまいました。
どうかもう一度だけ教えてくれませんか?

お礼日時:2019/12/11 22:26

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