立方体の断面

1辺が6cmの立方体があり、右下の頂点Qから左に3cmのA、奥に2cmのB、右下奥の頂点Rから
上に2cmのCがあります。

点A、B、Cを通る平面で切り分けます。
(1)切り口は何角形か
という問題です。

左が問題の図。

私が想像したのは真ん中の図です。

しかし正解は右の図です。正解は線ABを延長していますが、私はBCを延長しました。

解説は「AとBを結び、ABの延長とWR、WUと延長との交点をそれぞれE、Fとします。次にEとCを結び、その延長とVWの交点をG、GとFを結び、TUとの交点をHとします。BとC、HとAを結ぶと五角形ABCGHが出来上がり、これが切り口となります。」

解説を見ても、どうすれば正解の発想が出てくるのかわかりません。
どうすればよいのでしょう？

早稲田中学の入試問題です。

No.5 ベストアンサー 回答者： ありものがたり 回答日時： 2019/12/13 03:56

あなたの考えの図ですが、

上方の左右に張り出した2個の交点っぽいものは
直線どうしが交わらず、交点ができません。
そこを勘違いしたのが、間違いの元凶ではないでしょうか。
直線がネジレの位置になる様子が
頭の中で想像できるとよいのですが...
これは、慣れですかね。

平面は、通過点を3個定めると決まります。
A,B,Cを通る平面を考えるなら、図に線分ABを書き込んで
△ABCを意識し、この三角形を平面へ延長したらどうなるか？
をイメージしたら、少しは想像しやすいかもしれません。
この考え方で、直線ABを考える発想は出てくると思います。

少し参考になるかもしれない本↓
https://www.e-hon.ne.jp/bec/SA/Detail?refISBN=97 …

この回答へのお礼

ありがとうございます。ねじれてるんですね。がんばります。ありがとうございます。

お礼日時：2019/12/14 16:57

No.4 回答者： ginga_kuma 回答日時： 2019/12/12 23:42

PQの延長線を書きます。

CBの延長線とPQの延長線の交点をSとします。そうすると△BRCと△BQSは同じ平面状にあって相似形ですね。直角をはさむ辺の比を求めます。
BR=4、CR=2から4：2=2：1　(1)
BQ：QS=2：1=2：QS　より　QS=1 ですね。
次に、QAの延長線とアイウエオの辺の交点をTとし、Aの左となりの立方体の頂点をDとすると、AQ=AD=3で△AQSと△ADTは合同になりますね。ということはQS=DT=1となります。
DT=1 は アのところですね。
直角をはさむ辺の比を求めておきます。
AD：アD=3：1　(2)
次に、Tからカキクケコの辺と平行な線を引きます。アと二が結べるはずです。ここで向かい側の面の三角形を見ます。△BRCですね。この三角形の相似な三角形がア二の面に出来ます。
(1)から直角をはさむ辺の比は2：1とわかっているので、アニ=6 よりニから3上にあるところの点とで出来る三角形が△BRCと相似な三角形になります。
ニから3上の点はチですね。

Cからスセソタチに平行な線を引いても同じです。Cからスセソタチに平行な線を引くとRC=2なのでナになりますね。この面の向かい側の面にある三角形は△ADアですね。直角をはさむ辺の比は(2)から3：1ですね。Cナ=6なのでナから2上の点が交点になります。ナから2上の点はチですね。

A、ア、チ、Cを結んだ線が切り口になります。

この回答へのお礼

相似を使うんですね。ありがとうございました。

お礼日時：2019/12/14 16:56

No.3 回答者： ゼロプライム 回答日時： 2019/12/12 22:22

点A、B、Cを通る平面は、立方体の6面のどの面とも平行ではないので、すべての面とどこかで交わり

ます。また、12本の辺ともどこかで交わります。その中で、この立方体の高さにあたる4本の辺、PQ,
SR,VW,TUとの交点が、この問題の切り口の形を求めるポイントになると思います。

BCを延長したときに、Bの方向にも延長します。
PQとの交点をXとすると、XがQより下になるのはわかりやすく、切り口には関係ありませんが、
CR＝２、BR＝４、QB＝２より、QX＝１です。
SRとの交点はCです。
TUとの交点Hが、TとUの間にくるのもわかりやすく、切り口に関係ありますが、
QX=1、QA＝3、AU＝3より、HU＝１です。
VWとの交点Gがどこにくるかが分かりにくいですが、面VWRSと面TUQPは平行なので、点A、B、Cを通る平面と同じ角度で交わります。つまり、GC∥HAです。
AU＝３、UH＝１、RC＝２より、GはVとWの間にきます。
したがって、切り口は五角形です。

この回答へのお礼

並行なわけですね。ありがとうございます。

お礼日時：2019/12/14 16:53

No.2 回答者： 銀鱗 回答日時： 2019/12/12 05:51

まずは、点Aと点Bを結ぶ線を含む面を想定する。

点Aと点Bを結ぶ線を軸としてグルグル回る面があるということです。
そのグルグル回る面が、点Cを含んだ時に回転が止まる。
その時の断面がどうなるかを想像してみましょう。

この場合は立方体を下に延長した（縦に2つ積んだ）直方体を想像すると分かりやすいかもしれない。

この回答へのお礼

なるほど。ぐるぐるですね。ありがとうございます。

お礼日時：2019/12/14 16:45

No.1 回答者： かねださん好き 回答日時： 2019/12/12 00:51

こういう問題の場合、実際にダンボールなり折り紙をハサミやカッターで切って工作してみると一瞬でわかります。

また実際に手を動かしたことで類似問題にも対応できますし、自分で問題作って自分で解くという遊びが勉強という最強無比の学習法にもつながりますよ

この回答へのお礼

ありがとうございます。やってみます。

お礼日時：2019/12/14 16:43