問 3. V は内積 ⟨·, ·⟩ が備わった計量ベクトル空間とする.U は V の部分ベクトル空間

問 3. V は内積 ⟨·, ·⟩ が備わった計量ベクトル空間とする.U は V の部分ベクトル空間 とする.
W :={v∈V |任意のu∈U に対し⟨v,u⟩=0} とおく.このとき，次の問に答えよ.
(1) W は V の部分ベクトル空間であることを示せ. 1
(2) U + W = U ⊕ W であることを示せ .

教えてくださいお願いします！

No.1 回答者： tknakamuri 回答日時： 2020/01/15 09:07

直交補空間ですね。

(1) w1、w2∈Wに対し
任意のu∈U、任意の実数αに対して
<αw1,u>=0、<w1+w2,u>=0
を示せば良い。これは内積の定義を使えば簡単

(2)もしx∈Wかつx∈Uである0ベクトルではない
xが存在すれば
<x,x>=0となって内積の定義に矛盾。
従ってWとUの共通の要素は
零ベクトルのみ。

直和の定義に

零ベクトル以外の共通要素を持たない部分空間同士の
和空間

を採用するなら、証明終了。