3次関数について✋ 2a＞0の所が分かりません どうしてそうなるのですか？

3次関数について✋
2a＞0の所が分かりません
どうしてそうなるのですか？

質問者からの補足コメント

• あとなぜ「境界線は原点を除いて他は含む」なのですか？

    補足日時：2020/03/24 20:33

No.1 ベストアンサー 回答者： yhr2 回答日時： 2020/03/24 21:07

問題の上がちょん切れていて読めないね。

質問するときにはちゃんと条件を明確に提示しよう。

f'(x) の関数形が与えられていて、これが「3次関数の接線の傾き」を表すわけです。
多分問題で与えられた条件は「f(x) は常に増加」だと思うので、接線の傾きは
　f'(x) ≧ 0
ここで、
　f'(x) = 2ax^2 + 2(a + b)x + b + 1　　　　③
なので、すべての x に対して f'(x) ≧ 0 であるためには、この2次関数は「下に凸」で、頂点が x≧0 になければいけないことになる。
「上に凸」だったら、必ず f'(x) < 0 となる x が存在することになるから。
③が「下の凸」である条件が
　2a > 0
です。


＞あとなぜ「境界線は原点を除いて他は含む」なのですか？

判別式の条件が
　(a - 1)^2 + b^2 ≦ 1
なら「円を含むその内側」だが、f(x) が3次関数なら a≠0 （上に書いてある）なので
　a=0 （そのとき b=0）
は除かなければいけませんよね。

この回答へのお礼

分かりやすい説明ありがとうございます！

お礼日時：2020/03/25 22:59

No.2 回答者： むらさめ 回答日時： 2020/03/24 21:26

f’(x)=2ax^2+2(a+b)x+b+1

”　f(x)が常に増加　”　するためには、”　2a>0　”　が、絶対の条件です。
f’(x)　は、f(x)の傾きですので、これが常に増加するのは、下に凸の2次関数です。
上に凸の2次関数では、この条件を満たすことはできません。このため　2a>0

更に、常に正、x軸よりも上に無ければならない、の条件として、f’(x)の判別式　D≦0。
D=4a^2+8ab+4b^2-4･2a(b+1)
D/4=a^2+2ab+b^2-2ab-2a
=a^2-2a+b^2≦0　←　これを変形し、aとbの取れる領域を求める。
(a-1)^2+b^2≦1　←　これが写真の円の斜線部になる。

しかし、原点0、a=0、b=0　は、最初の3次関数であること∴a≠0　と　a>0　の条件をaについて満たさないので除外となります。

最後の原点の部分は、最初の条件を振り返って点検する必要があり、ある意味で引っ掛けの部分ですね。

この回答へのお礼

ありがとうございます

お礼日時：2020/03/25 23:00