数学の問題に関する質問です

この問題がどうしても解けないので教えてください
説明をつけていただけるとありがたいです。

切り口が長方形である角材の強度は，切り口の横幅 x の 2 乗，縦幅 y の 3 乗に比例するとする。 半径 r の円柱形の原材から最も強い角材を切り取る には，x, y の値をいくらにすればよいか

No.1 回答者： yhr2 回答日時： 2020/04/09 17:48

半径 r の円柱形の原材から切り口の横幅 x, 縦高さ y の長方形を切り出せば、束縛条件として

　(x/2)^2 + (y/2)^2 = r^2
になります。つまり
　x^2 + y^2 = 4r^2　　　　　①

強度 S は、定数 k を使って
　S = k*x^2 *y^3
と書けます。
①を使って x を消去すると
　S = k(4r^2 - y^2)y^3 = 4kr^2*y^3 - ky^5

y に対して S が極値を持つ条件は
　S' = dS/dy = 12kr^2*y^2 - 5ky^4 = ky^2 *(12r^2 - 5y^2) = 0
で y≠0 より
　12r^2 - 5y^2 = 0
→　y>0, r>0 より　y = [√(12/5)]r

このとき
　S'' = 24kr^2 *y - 20ky^3
より
　S''([√(12/5)]r) = 24√(12/5)kr^3 - 20k*[(12/5)√(12/5)]r^3 = kr^3 ( 24√(12/5) - 48√(12/5) ) = -[24√(12/5)]kr^3 < 0
従って、y = [√(3/5)]r のとき S は極大になる。

S の増減表を作れば
y=0 のとき S=0
0<y<[√(12/5)]r　のとき S は単調増加
y=[√(12/5)]r　のとき S は極大
[√(12/5)]r<y<2r　のとき S は単調減少
y=2r のとき S=0

従って、この範囲では y=[√(12/5)]r のとき S は最大になる。
このとき
　x = √[4r^2 - 12/5)r^2 ] = [√(8/5)]r

No.2 回答者： springside 回答日時： 2020/04/09 21:03

No.1のとおりなんだけど、ダラダラ書かなくても、もっとスッキリと書けると思うんだけどな。

特に、2階微分なんて全く不要。

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円柱と角材の断面を考えて、三平方の定理により、x²+y²=(2r)²=4r²　①

角材の強度Sは、定数cを用いて、S=cx²y³と表されるから、①を用いて、
S=c(4r²-y²)y³=c(-y⁵+4r²y³)となる。
なお、yは正であり、かつ、①よりx²=4r²-y²>0であるから、0<y<2r

ここで、f(y)=-y⁵+4r²y³とおくと、f'(y)=-5y⁴+12r²y²=y²(-5y²+12r²)であり、
f'(y)=0を解くと、y=(2/5)√15 r (∵0<y<2r)

f(y)の増減表を書くと、y=(2/5)√15 rの前後でf'(y)はプラスからマイナスに符号を
変えるから、f(y)は、y=(2/5)√15 rで極大、かつ、最大となる。

以上により、求めるyはy=(2/5)√15 rであり、xは①よりx=(2/5)√10 r　…答

注：角材の横か縦かって、角材の位置や見る角度によって変わるから、強度に関して、
縦幅と横幅が非対称って変。力のかかり方をきちんと定義しないと。