力学 単振り子 二次元極座標

単振り子（微小角振動）の運動方程式を二次元極座標で解いて運動の様子を説明せよ。
ただし、錘に繋いだ紐（長さ l ）は十分軽く伸び縮みはないとする。
初期条件は以下の通りとする。時刻 t = 0 の時 φ = φo で錘を静かに放す( 初速 v0 = 0 )。

という問題です。

教えてくだい、お願いします。

質問者からの補足コメント

• 自信はないですができると思います。

  No.1の回答に寄せられた補足コメントです。 補足日時：2020/06/09 10:14

No.1 回答者： yhr2 回答日時： 2020/06/09 09:44

「直交座標」なら解けるのですか？

No.2 ベストアンサー 回答者： yhr2 回答日時： 2020/06/09 11:09

No.1 です。

直交座標であれば、重力の円周方向の成分
　F = mgsinφ　　　①
を「力」として、水平方向の変位 x を φ が微小なときには
　x = Lsinφ　　②
と書けるので、①を
　F = mgx/L
と書いて、運動方程式
　mx'' = -mgx/L　　　③
を解きます（マイナスは x'' の方向が x の逆方向なので）。
高校物理ではこちらを使いますね。
http://www.wakariyasui.sakura.ne.jp/p/mech/tann/ …

極座標系であれば、「水平方向の変位 x」ではなく「角度の変位 φ」そのものを使って
　周速度：Lφ'
　周加速度： Lφ''
なので、運動方程式は
　mLφ'' = -mgsinφ　　　④
になります。
これを厳密に解くのは結構めんどうなので、「φ が微小」という条件で
　sinφ ≒ φ
として④を
　mLφ'' ≒ -mgφ　　　⑤
として近似解を求めるのがふつうです。

③と⑤は同じ形をしていますね。

極座標の⑤を解けば、一般解は
　φ(t) = C1*sin(ωt) + C2*cos(ωt)　（ω = √(g/L), C1, C2 は積分定数）
です。

初期条件より
　φ(0) = C2 = φ0
速度は
　φ'(t) = -C1*ω*cos(ωt) + C2*ω*sin(ωt)
より
　v(0) = Lφ'(0) = -L*C1*ω = 0
より
　C1 = 0

よって求める解は
　φ(t) = φ0*cos(ωt)

この程度の話であれば、お使いのテキストにも参考書にも、さらにはネット上にも、いくらでもそのものズバリが載っていると思いますよ。
たとえば
http://w3e.kanazawa-it.ac.jp/math/physics/catego …

http://w3e.kanazawa-it.ac.jp/math/physics/catego …

この回答へのお礼

ありがとうございました。

お礼日時：2020/06/10 09:09