∮f x d xで、 x＝tとおいたとき、dxをtで置き換えた式を代入する際、f（ t)とかけ算にし

∮f x d xで、 x＝tとおいたとき、dxをtで置き換えた式を代入する際、f（ t)とかけ算にしていい理由はなんですか？
画像のような場合です。よろしければお願いします。

No.3 回答者： springside 回答日時： 2020/06/18 18:54

ただ単純に置き換えているだけだけど、何が判らないのかな？

√(x+1)=tと置いたのだから、x=t²-1
また、dx=2dt

だから、

x√(x+1)=(t²-1)t
dx=2dt

となるだけのこと。

こういうことをしていい理由は、教科書の置換積分のページに極めて易しくかいてあるはずなので、誰でも読めば判る。

No.2 回答者： ありものがたり 回答日時： 2020/06/18 18:13

数式や定理を「意味」で考えてはいけません。

数学は算数ではないからです。
数学では、証明された定理を使って計算を進めます。

置換積分の根拠となる定理は、
合成関数の微分法則 (d/dt) F(g(t)) = F’(g(t))・g’(t) です。　←[1]
ここで ’ の記号は、関数の引数による微分
F’(x) = (d/dx)F(x),　g’(t) = (d/dt) g(t) を表しています。
[1]の式を t で積分すると F(g(t)) = ∫{ F’(g(t))・g’(t) }ｄｔ となり、
F’(x) = f(x) のとき ∫f(x) dx = ∫{ f(g(t))・g’(t) }ｄｔ と書けます。　←[2]
[2]の右辺の ・ が、御質問の掛け算です。

No.1 回答者： masterkoto 回答日時： 2020/06/18 14:14

定積分のほうが意味が分かりやすいのですが

x√x+1 とは縦の長さ　dxとは横の長さ（ただしdは極めて小さいことを意味する）と思えばよいでしょう
すると
x√x+1 ・dxは長方形（横が非常に短い長方形）の面積です・・・（x=1付近では縦がx√x+1=√2 横がdxの短冊　x=2付近では縦がx√x+1=2√3 横がdxの短冊ということになります）
∫は和の記号で　∫x√x+1 ・dxは横幅が非常に短い長方形（短冊）の面積の総和という意味だと思えばよいと思います
ここで　t=√x+1という置き換えを行うと
短冊のたては、(t²-1)tに変わり、横は2tdtに変わりますから
この短冊の面積は(t²-1)t2tdtです
ここに掛け算の意味があります
（∫x√x+1 ・dxと∫(t²-1)t2tdtは同じ短冊の面積の和ですからイコールになるわけです）