数学･複素関数論 sinzが正則であることを確かめよ。 という問題の解説をどなたかお願いします。

数学･複素関数論

sinzが正則であることを確かめよ。
という問題の解説をどなたかお願いします。

No.1 回答者： ありものがたり 回答日時： 2020/06/23 01:40

新しい質問から順に見てきたのだけれど、

これ↓は、この質問がしたかったのだろうか？
https://oshiete.goo.ne.jp/qa/11722635.html
後の投稿のほうが質問文が劣化してるけど。

z から w への複素関数が正則であることは、
z の実部を x, 虚部を y, w の実部を u, 虚部を v としたときの
(x,y) から (u,v) への関数がコーシー・リーマンの条件を満たす
ことと同値です。

u + iv = w = sin z = sin(x + iy)
= sin(x)cos(iy) + cos(x)sin(iy) = sin(x)・cosh(y) + cos(x)・i sinh(y)
より、
u = sin(x)cosh(y),
v = cos(x)sinh(y).

これが、コーシー・リーマンの条件
∂u/∂x = ∂v/∂y,
∂u/∂y = - ∂v/∂x.
を満たすことを、計算で確認しましょう。
上の式を微分して
∂u/∂x = { (∂/∂x)sin(x) }cosh(y) = cos(x)cosh(y),
∂v/∂y = cos(x){ (∂/∂y)sinh(y) } = cos(x)cosh(x),
∂u/∂y = sin(x){ (∂/∂y)cosh(y) } = sin(x)sinh(y),
∂v/∂x = { (∂/∂x)cos(x) }sinh(y) = -sin(x)cosh(x).
ですから、確かに成り立っていますね。