数学の問題を教えてください。 三角形ABCについて、sinA + sinB + sinC =1 のと

数学の問題を教えてください。

三角形ABCについて、sinA + sinB + sinC =1 のとき、
cos A/2 × cos B/2 × cos C/2 の値を求めよ。

お願いします。

No.1 ベストアンサー 回答者： ゼロプライム 回答日時： 2020/07/24 18:24

sinA + sinB + sinC =1

2倍角の公式により、
sinA=sin 2(A/2)=2sin A/2 cos A/2

和積の公式により、
sinB + sinC =2sin (B+C)/2 cos (B－C)/2
=2sin (180°－A)/2 cos (B－C)/2
＝2sin (90°－A/2) cos (B－C)/2
＝2cos A/2 cos (B－C)/2

これより、
sinA + sinB + sinC
=2sin A/2 cos A/2+2cos A/2 cos (B－C)/2
=2 cos A/2 {sin A/2+cos (B－C)/2}
=2 cos A/2 [sin {180°－(B+C)}/2+cos (B－C)/2]
=2 cos A/2 [sin {90°－(B+C)/2}+cos (B－C)/2]
=2 cos A/2 {cos (B+C)/2+cos (B－C)/2}

和積の公式により、
cos (B+C)/2+cos (B－C)/2=2cos {(B+C)/2 + (B－C)/2}/2 cos {(B+C)/2 － (B－C)/2}/2
=2cos B/2 cos C/2

よって、
sinA + sinB + sinC=(2 cos A/2)(2cos B/2 cos C/2)=4 × cos A/2 × cos B/2 × cos C/2

sinA + sinB + sinC =1より、
4 × cos A/2 × cos B/2 × cos C/2 = 1

したがって、
cos A/2 × cos B/2 × cos C/2 = 1/4