整式x^106+x^54+x+1を整式x^2+x+1で割ったときのあまりはどうすれば簡単に求められま

整式x^106+x^54+x+1を整式x^2+x+1で割ったときのあまりはどうすれば簡単に求められますか？

No.2 ベストアンサー 回答者： springside 回答日時： 2020/07/30 22:54

敢えて三角関数を持ち出さなくても。

x¹⁰⁶+x⁵⁴+x+1をx²+x+1で割った商をQ(ｘ）、余りをax+bとすると、
x¹⁰⁶+x⁵⁴+x+1=(x²+x+1)Q(x)+ax+b　※

ここで、x²+x+1=0の解の1つをω（複素数）とすると、ω²+ω+1=0である。
両辺にω-1を掛けると、左辺は、(ω-1)(ω²+ω+1)=ω³-1となるから、ω³-1=0となり、ω³=1ということが判る。

すると、
ω¹⁰⁶=(ω³)³⁵･ω¹=1³⁵･ω=ω
ω⁵⁴=(ω³)¹⁸=1¹⁸=1
である。

さて、※において、xにωを代入すると、
左辺=ω¹⁰⁶+ω⁵⁴+ω+1=ω+1+ω+1=2ω+2
右辺=(ω²+ω+1)Q(ω)+aω+b=0･Q(x)+aω+b=aω+b
となるから、2ω+2=aω+bである。
ここで、a,bは実数であり、ωは複素数であるから、a=b=2

以上により、余りは、2x+2

No.1 回答者： ゼロプライム 回答日時： 2020/07/30 21:59

剰余の定理を利用します。

整式x^106+x^54+x+1を整式x^2+x+1で割ったときの商をQ(x)、余りを ax+b とします。
x^106+x^54+x+1=(x^2+x+1)Q(x)+ax+b……☆

x^2+x+1=0 とおくと、
x=(-1±√3 i)/2
=cos (±2π/3) + i sin (±2π/3)

x^106={cos (±2π/3) + i sin (±2π/3)}^106
=cos (±212π/3) + i sin (±212π/3)
=cos (±2π/3)+ i sin (±2π/3)
=(-1±√3 i)/2

x^54={cos (±2π/3) + i sin (±2π/3)}^54
=cos (±108π/3) + i sin (±108π/3)
=cos 0π + i sin 0π
=1

☆に、x=(-1±√3 i)/2 を代入すると、
(-1±√3 i)/2 + 1 + (-1±√3 i)/2 + 1= a(-1±√3 i)/2 + b
1 ±√3 i = (- a/2 + b) ± (a/2)√3 i

これより、
1= - a/2 + b
1= a/2

よって、
a=2
b=2

したがって、余りは、2x+2 です。