数学 微積 わからないです。ヒントや参考になるURL、可能なら回答も欲しいです。 （1）y=sin^

数学 微積
わからないです。ヒントや参考になるURL、可能なら回答も欲しいです。

（1）y=sin^(-1)xの導関数dy/dxに対してマクローリン展開を求めよ。

（2）y=sin^(-1)xに対するマクローリン級数の0でない最初の3項よりなる多項式を求めよ。

（3）(2)で得られる近似式に簡単な分数を代入することで円周率πを近似する1つの分数が見つかる。代入した分数とπの近似分数を求めよ。

No.1 ベストアンサー 回答者： ありものがたり 回答日時： 2020/08/06 17:27

(1)

一瞬どうしようとも思うが、(d/dx) sin^-1 x = (1 - x^2)^(1/2) であることが判れば
(d/dx)^n sin^-1 x を求めるのは難しくない。あとは、マクローリン展開の公式どおり。
やってみると、 sin^-1 x = x + (1/6)x^3 + (3/40)x^5 + ...

(2)
(1)の結果を見れば自明。 sin x が奇関数だから、sin^-1 x も奇関数で
sin^-1 x のマクローリン展開は奇数次項だけからなるね。

(3)
(1)の級数は、収束半径が 1 なので、 x ≒ 1 では収束が遅い。
だから、 π/2 = sin^-1 (１) を使おうとしてはいけない。
π/6 = sin^-1 (1/2) を使えば、
π ≒ 6{ (1/2) + (1/6)(1/2)^3 + (3/40)(1/2)^5 } = 2009/640 ≒ 3.1390
と近似できる。

この回答へのお礼

ありがとうございます！出来ました！

お礼日時：2020/08/07 16:21