x＝0におけるテイラー展開を求める問題です。 テイラー展開についてあまり理解することができませんでし

x＝0におけるテイラー展開を求める問題です。
テイラー展開についてあまり理解することができませんでした。もしよろしければ解説お願いします。
1. f(x)＝1/(1-3x)
2. f(x)＝cos 2x

No.2 ベストアンサー 回答者： ShowMeHow 回答日時： 2020/11/18 13:25

ゼロ近辺のテイラー展開はマクローリン展開と呼びますので、それで調べるといろいろ出てくると思います。

基本的には、
f(x)=f(0)+f'(0)x+f''(0)x²/2！+f'''(0)x³/3！+・・・・
ということです。

1.　であれば、　
ｆ（0）＝1
ｆ’＝3/（1-3ｘ）²　　　ｆ’（0）＝3
ｆ’’＝2・3²/(1-3x)³　　ｆ’’（0）＝18
（ｄ/ｄｘ）＾ｎ　{f(x)} = n!3＾n(1/(1-3x)^n) (へんな書き方ですみません)

ですから、マクローリン展開は
f(x)= 1+3x+3²x²+・・・
ということになり、
[n=0 to ∞]　Σ　(3x)^n

のように書くことができます。
（これまた、変な書き方ですみません）

この回答へのお礼

詳しい説明ありがとうございます。マクローリン展開について調べてみます。

お礼日時：2020/11/18 17:24

No.3 回答者： ありものがたり 回答日時： 2020/11/18 15:47

f(x) のマクローリン展開は

f(x) = f(0) + f'(0)x + f''(0)x²/2！ + f'''(0)x³/3！ + ... です。
これの各項を求めればよいのですが、
多少計算を端折ることもできます。

1.
等比級数の公式 1/(1 - r) = 1 + r + r² + r³ + ...
に r = 3x を代入すると、
1/(1 - 3x) = 1 + (3x) + (3x)² + (3x)³ + ...
　　　　　= 1 + 3x + 9x² + 27x³ + ...
それとも、
1/(1 - 3x) = Σ[k=0→∞] (3^k)(x^k)
と書いたほうがよいかなあ。

2.
cos のマクローリン展開
cos z = 1 - (1/2)z² + (1/4!)z⁴ - (1/6!)z⁶ + ... は
知っていたほうがいいような気はします。
f(x) = f(0) + f'(0)x + f''(0)x²/2！ + f'''(0)x³/3！ + ... から
真面目に計算してもよいけれど。

これに z = 2x を代入すれば、
cos(2x) = 1 - (1/2)(2x)² + (1/4!)(2x)⁴ - (1/6!)(2x)⁶ + ...
あるいは、Σ を使って書くと
cos(2x) = Σ[k=0→∞] { (-1)^k }{ 1/(2k)! }(2^k)(x^k).

この回答へのお礼

詳しい説明ありがとうございます。
公式などをうまく使って解いてみます。

お礼日時：2020/11/18 17:29

No.1 回答者： yhr2 回答日時： 2020/11/18 12:57

テイラー展開のありがたみは、こんなサイトを見てください。

↓
https://www.ice.tohtech.ac.jp/nakagawa/taylorexp …