連続写像fについて、Aが閉集合の時は f^-1(A)は閉集合、Aが開集合のときは f^-1(A)は開

連続写像fについて、Aが閉集合の時は
f^-1(A)は閉集合、Aが開集合のときは
f^-1(A)は開集合となりますが、開かつ閉集合のときは
f^-1(A)はどうなりますか？

No.2 ベストアンサー 回答者： ありものがたり 回答日時： 2020/11/22 09:37

A が閉集合のときは f^-1(A) は閉集合、

かつ
A が開集合のときは f^-1(A) は開集合
なのだから、
A が開かつ閉集合のときは f^-1(A) も開かつ閉集合。
自明でしょう？
例として、空集合は任意の位相で開かつ閉ですが、
f^-1(φ) = φ であり、逆像も開かつ閉です。

No.1 回答者： endlessriver 回答日時： 2020/11/22 04:43

色々です。

f(x)=x とすると 開かつ閉集合 f⁻¹(R)=R

f:(-π/2,π/2)→R, f(x)=tanx とすると　開集合　f⁻¹(R)=(-π/2,π/2)

f:R→[-1,1], f(x)=2x/(1+x²)　とすると、閉集合 f⁻¹(R)=[-1,1]

f:R→[0,1), f(0)=0, f(x)=exp(-1/x²) (x≠0) とすると
　f⁻¹(R)=[0,1) は開でも閉でもない。