ベクトル

ベクトル

点Oを中心とする単位円に内接する四角形ABCDにおいて
∠ABC＝90°、∠BCD=75°、∠BDC=45°とする。BDベクトルをaOAベクトル＋bOBベクトルと置くとき、a,bの値を求めよ。

こちらを教えていただけないでしょうか＞？

因みに、∠CBD=180°-75°-45°=60°
∠COD=120° また、OはAC上にあり、AO⊥BODから
ＢＯへ下した垂線の足をHとすると、
∠DOH=∠COD-90°＝30°
ODベクトル＝1/2OAベクトルー√3/2OBベクトル
ＢＤベクトル＝ＯＤベクトルーＯＢベクトル
＝1/2OAベクトルー（1＋√3/2）ＯＢベクトル

a=1/2, b=-1-√3/2

No.1 ベストアンサー 回答者： ゼロプライム 回答日時： 2021/01/18 19:35

△CBDにおいて、

∠CBD+∠BCD+∠BDC＝180°
∠CBD+75°+45°＝180°
∠CBD＝60°

∠CBD、∠CODは、それぞれ弧DCに対する円周角と中心角なので、
∠COD＝２∠CBD＝120°

∠ABC＝90°より、ACはこの円の直径（直径の上にたつ円周角）
△ABCにおいて、
∠BAC＝∠BDC＝45°（弧BCに対する円周角）
∠ABC＝90°より、∠BCA＝45°
よって、
△ABCはBA＝BCの直角二等辺三角形
OA=OCより、BOはACの垂直二等分線

HはBOの延長上にあり、BH⊥AC
∠COH＝90°
∠DOH＝∠COD－∠COH＝120°－90°＝30°

△DOHにおいて、
∠DOH＝30°、∠DHO＝90°より、∠ODH＝60°
よって、
HD：OD：OH＝１：２：√3
単位円より、OD=１なので、HD＝1/2 , OH=√3/2

∠AOB＝∠DHO＝90°より、AO∥DH
OA＝１、HD＝1/2 より、
(→HD)＝(1/2)(→OA)

OB＝１、OH=√3/2より、
(→OH)=－(√3/2)(→OB)

これより、
(→OD)=(→OH)+(→HD)
=－(√3/2)(→OB)+(1/2)(→OA)

(→BD)=(→OD)－(→OB)
=－(√3/2)(→OB)+(1/2)(→OA)－(→OB)
=(1/2)(→OA)－(1 + √3/2)(→OB)

したがって、
a=1/2 , b=－1－√3/2