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- 回答日時:
非常におおざっぱな説明ををすると、
デルタ関数というのは、任意の関数f(t)について、
f(0)=∫f(t)δ(t)dx ...(☆)
が成り立つような関数(のようなもの)です。
任意の偶関数f(t)のフーリエコサイン変換
F(ω) = ∫_{-∞,∞}f(t)cos(ωt)dt ... (1)
その逆変換
f(t) = 1/2π*∫_{-∞,∞}F(ω)cos(ωt)dω
t=0を代入して
f(0) = 1/2π*∫_{-∞,∞}F(ω)dω ... (2)
(1)を(2)に代入して、
f(0) = 1/2π*∫_{-∞,∞}dω∫_{-∞,∞}dt*f(t)cos(ωt)dt
= ∫_{-∞,∞}dt*f(t)*(1/2π*∫_{-∞,∞}cos(ωt)dω)
この式と(☆)を比べると、
δ(t) = 1/2π*∫_{-∞,∞}cos(ωt)dω
てのが出てきます。
この積分はt=0で無限大ですし、t≠0ではイメージとしては0になりそうな気がしないでもないですね。
これはかなり適当な議論なので、ほんとにやるときは、超関数って何?ってとこから始めるべきですが、イメージとしてはこんな感じでしょうか。
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