画像はどのように積分して1-1としたのでしょうか？詳しい過程の計算が知りたいです。 また、積分の公式

画像はどのように積分して1-1としたのでしょうか？詳しい過程の計算が知りたいです。
また、積分の公式は式により様々な公式があるのでしょうか？


また、
∫[0→2π] rⁿ・e^(inθ)・ire^(iθ) dθ
= irⁿ⁺¹∫[0→2π] e^{iθ(n+1)} dθ

◆ n = -1 のとき ∫[0→2π] dθ = 2π
に関して、
= irⁿ⁺¹∫[0→2π] e^{iθ(n+1)} dθ

◆ n = -1 のとき ∫[0→2π] dθ = 2π
からどうやって2πと出したのでしょうか？
過程の詳しい計算を教えてください。
i×1∫[0→2π] e^{iθ×0} dθ
=i×1∫[0→2π] 1 dθ
=2πiとなると思ったのですが、なぜ2πになるのでしょうか？

No.2 回答者： アンドロメダシティ 回答日時： 2021/03/09 06:24

「また」以降は数学的内容も日本語も支離滅裂だが、大いに忖度すれば以下のようなことなのだろう。

No.1 回答者： stomachman 回答日時： 2021/03/09 03:37

sinは奇関数、すなわち sin(θ) = -sin(-θ) なので、積分区間が -a〜a であれば積分を計算するまでもなく0。

sinのグラフを描けば自明でしょう。
　ですが、強いてご質問の趣旨に沿うなら：
　　∫{-π〜π}(1/2) sin(nx) dx
　　= (1/2)∫{-π〜π}sin(nx) dx
　　= (-1/(2n))[cos(nx)]{-π〜π}
　　= (-1/(2n))(cos(nπ) - cos(-nπ)) = 0
cosは偶関数。すなわち cos(θ) = cos(-θ) なので cos(θ)-cos(-θ)=0 （θが何であれ）。これもcosのグラフを描けば自明でしょう。

　なお写真の式は、積分変数dxが書いてないし、"2(n+1)"は間違い。答だけ（たまたま）合っているに過ぎない。これがもしテストの答案なら0点です。とんでもなく酷いテキストをご覧になっているようで、折角勉強なさっているのに台無し。即刻、別の教材に切り替えるべきです。

　ところで、1つ目と2つ目の「また」以降は質問が意味不明。