数学、三角比の質問です。 (写真見てください！) 解答7行目についてまず質問です。-1≦cosθ≦1

数学、三角比の質問です。

(写真見てください！)

解答7行目についてまず質問です。-1≦cosθ≦1 と書いてありますが、0°≦θ≦180° と同値でないはずなのに 一つの条件として確立されてるのはなぜですか？？

0°≦θ≦180°⇔-1≦cosθ≦1 ではないと思います。ならば、0°≦θ≦180° という題意を -1≦cosθ≦1 で表すのは数学的にNGだと思いました。

この問題に限った話じゃないですけど、0°≦θ≦180°⇔-1≦cosθ≦1 じゃないはずなのに「0°≦θ≦180° より -1≦cosθ≦1」とやってるのがよく分かりません。

二つ目の質問です。

最後の段で「0°≦θ≦180°より」と書いてますが、①の条件により 0°≦θ≦180° を満たしてるはずなのに もう一度 0°≦θ≦180° を確認するのは何故でしょうか？

悩んでます…。よろしくお願いします。

No.1 回答者： akari31 回答日時： 2021/03/28 20:45

0°≦θ≦180°⇔-1≦cosθ≦1 じゃないはずなのに「0°≦θ≦180° より -1≦cosθ≦1」とやってるのがよく分かりません。

0°≦θ≦180°⇔1≧cosθ≧－1と書いてほしかったの?

「0°≦θ≦180°より」と書いてますが、①の条件により 0°≦θ≦180° を満たしてるはずなのに もう一度 0°≦θ≦180° を確認するのは何故でしょうか？
書きたくなければ、θの条件よりとして書けば良いです。
θの条件に合うのは第１象限と、第４象限にありますので

No.2 回答者： ありものがたり 回答日時： 2021/03/28 21:34

ひとつめ：

＞ 0°≦θ≦180°⇔-1≦cosθ≦1 ではないと思います。
そのとおりではあるけれど、

θ がどんな実数でも -1≦cosθ≦1 は成り立ちますね。
だから、
0°≦θ≦180° のときも -1≦cosθ≦1 は成り立っています。

ふたつめ：
＞ ①の条件により 0°≦θ≦180° を満たしてるはずなのに
これが違う。

あなたが指摘しているとおり、
0°≦θ≦180°⇔-1≦cosθ≦1 ではありません。
だから、-1≦cosθ≦1 を前提としただけでは
0°≦θ≦180° は保証されておらず、別途確認が要ります。

No.3 回答者： Tacosan 回答日時： 2021/03/29 02:35

#2 にもあるように任意の実数 θ に対して -1 ≦ cos θ ≦ 1 だから, 当然 0° ≦ θ ≦ 180° に限定しても -1 ≦ cos θ ≦ 1, ではあるんだけど, この問題に関していえば

0° ≦ θ ≦ 180° に対して cos θ は -1 以上 1 以下のあらゆる値をとる
というところも押さえておくべきかな. θ の範囲が違う場合, 例えば 0° ≦ θ ≦ 120° であっても「-1 ≦ cos θ ≦ 1」といえるんだけど, cos θ がその範囲の全ての値をとるわけじゃないんで.

で「二つ目の質問」だけど, 実はこの部分はその上で得られた cos θ に対する範囲から＊本来求めるべき θ の範囲＊を (もともと存在する θ の条件から) 導いているだけであって, あなたのいうような
もう一度 0°≦θ≦180° を確認する
という作業ではない.