重積分、斜回転体の体積

斜回転体の体積Ｖを（x,y)とｙ＝ｍｘとの距離をｒとするとき、 画像のようにして導出している記述を見つけたのですが、２πｒｄｘｄｙという量はどのような意味があるのでしょうか？ ２πｒｄｘｄｙを斜線部分で重積分するとＶになるのがピンときません。 教えていただけないでしょうか

質問者からの補足コメント

• 

  回答ありがとうございます。
  結果だけ一致しているだけの、ただの偶然と考えるべきなのでしょうか？
  いわゆる最初に質問を投稿して、少し考えましたが、いわゆるバームクーヘン分割２πxydxと同じ発想の求積かとも思いましたが、見当違いでしょうか？

    補足日時：2021/04/26 03:00

No.1 回答者： Tacosan 回答日時： 2021/04/26 00:08

式の意味としては

点 (x, y) の近くにある dx×dy の部分をまわしたときの体積
なんだろうなぁ.

この回答へのお礼

ありがとうございます

お礼日時：2021/04/30 19:48

No.2 回答者： endlessriver 回答日時： 2021/04/26 00:54

始めの２式は全然でたらめ。

V=∫[a,b] πr² dx/cosθ　(y=mx方向のdxに対する厚み)

r=(mx-f(x))cosθ　だから

V=πcosθ∫[a,b] (mx-f(x))² dx

No.3 ベストアンサー 回答者： endlessriver 回答日時： 2021/04/26 11:25

失礼しました。

式は合っていました。

２πrdxdy のドーナツを積分しています。すると
　r=(mx-y)/cosθ
であり
　∫[f(x),mx] 2πrdy=(π/cosθ) [2mxy-y²][y=mx,f(x)]
　　　= (π/cosθ) [2(mx)²-(mx)²-2mxf(x)+f²(x)]
　　　= (π/cosθ) [(mx)²-2mxf(x)+f²(x)]
　　　= (π/cosθ) { mx-f(x) }²

は円錐の斜面の表面積になり、これを積分 ∫[a,b] dx すると体積に
なります。


わかににくいよーん。

この回答へのお礼

ありがとうございます

お礼日時：2021/04/30 19:47