位相について質問です。 「R^n\{0}(n≧2)は連結」はどのように示したら良いですか？教えてくだ

位相について質問です。

「R^n\{0}(n≧2)は連結」はどのように示したら良いですか？教えてください。

No.1 回答者： stomachman 回答日時： 2021/07/21 14:53

∀p∀q (p,q∈R^n\{0})について、pからqへ行く経路で0を通らないもの（すなわち x: [0,1]→R^n\{0}, x(0)=p, x(1)=q）を構成すればいいんです。

例えば、線分 y(t)= p(1-t)+qt 上でmin|y(t)|＞0ならx=yで良いですし、min|y(t)|=0なら0を通りy(t)と直交する超平面上の点z (z≠0)を一つ選んで、t<1/2のときx(t)= p(1-2t)+2zt, t＞1/2のとき x(t)=q(2t-1) + 2z(1-t)。