線形代数 空間ベクトルと平面方程式

α, β, γ, δ ∈ R （ただし,(α, β, γ )≠ 0）に対し, 平面 αx + β y + γ z + δ = 0とベクトル (α, β,γ )が垂直に交わることを示せ。
この問題の解説を教えてください。
よろしくお願いいたします。

No.1 ベストアンサー 回答者： mtrajcp 回答日時： 2021/12/03 20:43

α,β,γ,δ∈R

↑h=(α,β,γ)≠0
平面
αx+βy+γz+δ=0
上の異なる2点を
A=(x1,y1,z1)
P=(x2,y2,z2)
とすると
αx1+βy1+γz1+δ=0…(1)
αx2+βy2+γz2+δ=0
↓これから(1)を引くと
α(x2-x1)+β(y2-y1)+γ(z2-z1)=0
だから

↑h=(α,β,γ)
と
平面に含まれるベクトル
↑AP=(x2-x1,y2-y1,z2-z1)
の
内積は0
(↑h,↑AP)=α(x2-x1)+β(y2-y1)+γ(z2-z1)=0
と
なるから

平面に含まれるベクトル
↑AP=(x2-x1,y2-y1,z2-z1)
と
↑h=(α,β,γ)
は
垂直だから

平面
αx+βy+γz+δ=0
と
ベクトル(α,β,γ)
は
垂直である

この回答へのお礼

ご回答ありがとうございます。
理解することができました
また、お願いします

お礼日時：2021/12/05 22:45

No.2 回答者： tknakamuri 回答日時： 2021/12/04 20:37

r=(x、y、z)

n=(α、β、γ)

とすると、r・n=-δ

そのような面上の2点r1、r2の相対ベクトル
r1-r2 は

r1・n=-δ ①
r2・n=-δ ②

①―②
(r1-r2)・n=0

よって面上の任意の線分はnと垂直→面はnと垂直。

この回答へのお礼

ご回答ありがとうございます！
理解することができました

お礼日時：2021/12/05 22:45