２Ｂの質問です。 写真の青線から青線が、なぜこの変形になるのか教えて頂きたいです。

２Ｂの質問です。
写真の青線から青線が、なぜこの変形になるのか教えて頂きたいです。

No.2 回答者： ありものがたり 回答日時： 2022/08/15 19:53

S = 2 + 2・2^2 + 2・2^3 + ... + 2・2^n と置くと、両辺 2 倍して

2S = 4　　　　+ 2・2^3 + ... + 2・2^n + 2・2^(n+1) が成り立つ。
下の式から上の式を引くと、中のほうの項がゴッソリ相殺されて
(2-1)S = (4-2) + 2・2^(n+1) - 2・2^2 が残る。整理すると
S = 2 + 2・2^(n+1) - 8 = 2・2^(n+1) - 6
　= 2( 2^(n+1) - 2 ) - 4

No.1 回答者： t_fumiaki 回答日時： 2022/08/15 16:56

等比数列の和。

初項:a、公比:r、項数nなら、数列和=a(rⁿ-1)/(r-1)

この数列に直接には当てはめられない。
第2項が公比2²で、第3項以降が公比2になってる。

なので、()の部分に当てはめる
2+(2･2²＋・・・・・＋2･2ⁿ）　①

()の数列は
初項:2･2²、公比:2、項数n-1だから
和=2･2²(2ⁿ⁻¹-1)/(2-1)=2･2²(2ⁿ⁻¹-1)

変形すると=2(2ⁿ⁻¹･2²-2²)=2(2ⁿ⁺¹-4)

上の①で()の外の左に2があるから、それも足すから
2(2ⁿ⁺¹-4)+2=2･2ⁿ⁺¹-6=2(2ⁿ⁺¹-1)-4