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円運動の式で、v=rωという式がありますが、
半径が大きくなるにつれ、v=rωの式より、v>ωとなって、r≦1だったら式からv≦ωとなりますが、円周の速度よりも角速度の方が速くなることってあるのですか?

質問者からの補足コメント

  • みなさん、ありがとうございます!
    角速度と(周)速度は次元(単位)が違うから
    加減ができないから大小を比べることができないということですね。

      補足日時:2022/08/28 18:06

A 回答 (7件)

皆さん書いておられるように v と ω の大小は比べられないのですが、


v=rω と r>1 をあわせると(ω>0 であれば) v>ω にはなります。
不思議ですね?
これを解釈するには、単位を考えればよいのです。
例えば、 r=2[m], ω=3[/s] のとき、 v=rω=6[m/s] となります。
6>3 は成り立ちますが、6[m/s]>3[/s] ではありませんね?
r の単位に由来する見えない定数 1[m] があって、
6[m/s]>1[m]・3[/s] が成り立っているに過ぎないのです。
v>ω にもやはり、この単位つきの 1 が隠れています。
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ω(オメガ)は「角速度」で、1秒間に「角度で何度」進むか、という物理量です。


角度は、通常「ラジアン」を使います。「ラジアン」とは、「半径」と「円周長さ」の比で「中心角」を表わすものです。なので「一周」が「2パイ ラジアン」です。
なので、角速度 ω の単位は [rad/s] ということになります。
ただし、「ラジアン」自体は「半径と円周の比」なのでもともとは無次元であり(「長さ」を「長さ」で割ったもの)、従って角速度 ω の単位も通常の単位の組合せでいえば [1/s = s^(-1)] ということになります。

まずは、「角速度 ω」とはこういう物理量だ、ということを理解して考えなければなりません。

従って、角速度 ω に半径 r をかけたもの
 v = rω
は、「1秒間に進む円周長さ」という値になり、「円周の長さ」を「m:メートル」で表せば [m/s] つまり速度そのもの、円運動では「周速度」ということです。
すでに「円運動の半径 r」が決まっている上での「周速度」です。
その後から「r≧1」だの「r<0」だのといっても意味がなく、それは既に決まった上での v = rω なのです。
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長方形の縦とよこをかけると、長方形の面積になります。


もし、縦の長さを短くすると、面積は小さくなります。
でも、いくら縦を小さくしても、面積が横の長さにはなりません。面積は面積、長さは長さで、比較しても無意味です。
速度という言葉が同じなので混乱したみたいですね。
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ツッコミを追加すると、そもそも



v=rω…①

と言う式からなぜ

v>ω

と言う不等式が出て来るのでしょうか。rを定数扱いしたとしても①式が表しているのは「vとωは比例関係にある」と言う事だけです。vとωの数値の大小までは表していません。
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まずvとωは次元の異なる物理量です。

次元の異なる物理量の大小は比較できません。「1メートルと1秒はどちらが長いか」と聞いてるようなものです。
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角速度とは 1秒間に回転する 角度の事です。


普通の速度は 物体が 1秒間に移動した距離です。
「角度」と「距離」を 同列に 比べる事は 出来ません。
当然ながら、半径が小さく成れば
同じ角度に対する 円周は 短くなりますよね。
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角速度は「角度」の単位時間当たりの変化 単位は rad/s (SIの場合)


速度は「位置」の単位時間当たりの変化 単位は m/s (SIの場合)

単位も次元も違います。
温度と圧力の大小関係が無いのと同じで、
大小関係は有りません。比べられないのです。
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