数字に関する質問です。 ３７７３ １６１７ ７３４３ のように右からでも左からでも ７で割り切れる数

数字に関する質問です。
３７７３
１６１７
７３４３
のように右からでも左からでも
７で割り切れる数字の法則を
教えてください。

No.2 回答者： stomachman 回答日時： 2022/09/19 14:36

4桁の数xに限定で考えます。

各桁を上からA, B, C, Dとし、これを逆順に並べた4桁の数をyとすると、
　　A, Bは {1,2,3,4,5,6,7,8,9}の要素
　　C, Dは{0,1,2,3,4,5,6,7,8,9}の要素
　　x(A,B,C,D) = 1000A + 100B + 10C + D
　　y(A,B,C,D) = x(D,C,B,A) = 1000D + 100C + 10B + A
ということです。そしてx(A,B,C,D), x(D,C,B,A)がどちらも7の倍数であるということは
　　1000A + 100B + 10C + D = 7m
　　1000D + 100C + 10B + A = 7n
を満たす整数m, nがある、ということです。
　両者の和と差を作ってみると　
　　1001(A + D) + 110(B + C) = 7(m + n) …(1)
　　999(A - D) + 90(B - C) = 7(m - n) …(2)
だから、「連立方程式(1)(2)を満たす解A, B, C, Dであること」は、「x(A,B,C,D)もx(D,C,B,A)も7の倍数である」ということの必要十分条件です。

　まずは和(1)について。
　　1001 = 143×7
　　110 = 15×7 + 5
なので
　　5(B + C) = 7(m + n - 43(A + D) - 15(B + C))
右辺は7の倍数ですから、これをまとめてPと書けば
　　5(B + C) = 7P …(1')
だから(1)が成り立つのは、(B+C)が7の倍数であるとき、その時に限る。つまり
　　B=0, C=7
　　B=1, C=6
　　　：
　　B=7, C=0
のどれかです。もちろん、A, Dはなんでも良い。

　今度は差(2)について
　　999 = 142×7 + 5
　　90 = 12×7 + 6
なので
　　5(A - D) + 6(B - C) = 7(m - n - 142(A - D) - 12(B - C))
右辺は7の倍数ですから、これをまとめてQと書けば、(2)が成り立つ条件は
　　5(A - D) + 6(B - C) = 7Q …(2')
である。

　さて、(1)の解それぞれについて、(2)も成り立つ条件を調べると
　　B=0, C=7のとき　
　　　　5(A - D) = 7(Q - 6) より、(A - D)が7の倍数であるとき、その時に限る。
　　B=1, C=6のとき
　　　　5(A - D - 6) = 7Q より、(A - D - 6)が7の倍数であるとき、その時に限る。
　　B=2, C=5のとき
　　　　5(A - D) - 4 = 7(Q + 2) より、(5(A - D) - 4)が7の倍数であるとき、その時に限る。
　　B=3, C=4のとき
　　　　5(A - D) - 6 = 7Q より、(5(A - D) - 6)が7の倍数であるとき、その時に限る。
　　B=4, C=3のとき
　　　　5(A - D) + 6 = 7Q より、(5(A - D) + 6)が7の倍数であるとき、その時に限る。
　　B=5, C=2のとき
　　　　5(A - D) + 4 = 7(Q - 2)より、(5(A - D) + 4)が7の倍数であるとき、その時に限る。
　　B=6, C=1のとき
　　　　5(A - D + 6) = 7Q より、(A - D + 6)が7の倍数であるとき、その時に限る。
　　B=7, C=0のとき
　　　　5(A - D) = 7(Q + 6) より、(A - D)が7の倍数であるとき、その時に限る。
ということ。これが(1)(2)が両方成り立つ条件です。

　たとえば、B, Cの一方が0, 他方が7である場合なら、(A - D)が7の倍数なのだから、
　　A=D
である9通りのほかに
　　A=9, D=2
　　A=8, D=1
　　A=2, D=9
　　A=1, D=8
の4通りがある。なのでこの場合に限れば、コタエは 9709, 8709, 7707, 6706, 5705, 4704, 3703, 2702, 1701, 9702, 8701, 2709, 1708, およびそれを逆順にしたものであり、それだけだ、ってことです。
　B, Cのほかの組み合わせの場合についても、同じようにして調べられますね。

No.1 回答者： unkotare-oyaji2022 回答日時： 2022/09/17 10:40

数字の合計が「７の倍数」って事では？