質量 M,半径αの円板が1つの直径を固定軸として回転できるようになっている。質量mの物体が速さvで円板に垂直に飛んできて, 円周上の軸から最も遠い点に衝突した.
(i) 衝突後の円板の角速度ωを求めよ.
(ii) 物体が円板に与えた撃力Pを求めよ.
ただし、反発係数は0.5である.
この問題の(ii)を、撃力Pが与えられる前後の円盤の角運動量の変化を式にして、
Pa=ma^2ω
として解いたのですが、これは正しいですか?
(i)の答えは、
ω=3/(2a)*mv/(m+M/4)
です。
No.1ベストアンサー
- 回答日時:
(i)
>質量mの物体が速さvで
その「直進運動」の運動量は
mv
>円周上の軸から最も遠い点に衝突
上記の運動量を、円板の回転軸回りの「角運動量」に変換すると、半径が a なので
mva
円板の角運動量 L は、円板の慣性モーメントを I、角速度を ω として
L = Iω
円板の直径を回転軸としたときの慣性モーメントは
I = (1/4)Ma^2
なので
L = (1/4)Ma^2・ω ①
円板の周速度を v2 とすると
ω = v2/a ②
なので
L = (1/4)Mav2
従って、物体の衝突後の速度を v1 として、角運動保存の式は
mva = (1/4)Mav2 + mv1・a ③
一方、反発係数より
(v1 - v2)/(v - 0) = -0.5
→ v1 - v2 = -(1/2)v
→ v1 = v2 - (1/2)v
これを③に代入して
mva = (1/4)Mav2 + ma[v2 - (1/2)v]
→ (3/2)mv = [m + (1/4)M]v2
→ v2 = (3/2)mv/[m + (1/4)M]
②より
ω = 3mv/{2a[m + (1/4)M]}
(ii) 撃力は P = F・Δt であり、物体の方の運動量変化で求めればよいと思います。
つまり
P = mv - mv1 = m[v - v2 + (1/2)v]
= m{(3/2)v - (3/2)mv/[m + (1/4)M]}
= m{(3/2)mv + (3/8)Mv - (3/2)mv]/[m + (1/4)M]
= (3/8)Mmv/[m + (1/4)M]
もし「撃トルク」Fa・Δt = Pa を使うのであれば、撃トルクが角運動量の増加に等しいので
Pa = Iω - 0 = (1/4)Ma^2・ω = (1/4)Ma^2・3mv/{2a[m + (1/4)M]}
= (3/8)Mamv/[m + (1/4)M]
よって
P = (3/8)Mmv/[m + (1/4)M]
>この問題の(ii)を、撃力Pが与えられる前後の円盤の角運動量の変化を式にして、
Pa=ma^2ω
として解いたのですが、これは正しいですか?
いいえ。角運動量は「慣性モーメント」と「角速度」の積
L = Iω
です。
従って
ΔL = IΔω
です。
回答ありがとうございます。
角運動量は、回転中心からの距離ベクトルと、その物体の運動量ベクトルの外積で求められると思ったのですが、それはできないのはなぜでしょうか?
No.2
- 回答日時:
No.1 です。
「補足」に書かれたことについて。>角運動量は、回転中心からの距離ベクトルと、その物体の運動量ベクトルの外積で求められると思ったのですが、それはできないのはなぜでしょうか?
角運動量についてはその通りです。
あなたが使っている「角運動量」
ma^2ω
は、「円板の角運動量」ではなく、「半径 a 、角速度 ω で回転する質量 m の質点の角運動量」です。
角速度 ω で回転する質量 M の円板の角運動量は、円板の慣性モーメント
I = (1/4)Ma^2
を使って
L = Iω = (1/4)Ma^2・ω
になりますよ。
円板は、静止状態からこの角運動量を持つようになるので、この角運動量が「角運動量の変化」になります。
質量 m の物体の方の運動量の変化は
(衝突前)mv
(衝突後)mv1
ですから、運動量の変化(減少分)は
Δp = mv - mv1
になります。
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