線形代数の証明問題がわかりません、、教えて下さい！

線形代数の証明問題がわかりません、、教えて下さい！

No.1 回答者： Tacosan 回答日時： 2022/12/18 02:02

どこまでわかっていて, どこでなににどう困っているのか具体的に書いてみよう.

No.2 回答者： ありものがたり 回答日時： 2022/12/18 10:24

「簡単に説明せよ」という書き方が微妙だなあ。

これは、証明問題なんだろうか？
(4) の「途中式等も書くこと」も何と言うか...ねえ。

これは、本当に大学生向けの演習なのか？
どの程度の答えを書けばよいのか、さっぱり見えてこない。
出典の確認が必要かな。

質問者のほうは、
・ 「ベクトル空間」の定義は知っているのか？
・ 「基底」の定義は知っているのか？
・ R[x]₂ が R³ であることは判ったのか？
などの確認が必要と思う。

No.3 回答者： stomachman 回答日時： 2022/12/19 18:32

「簡単に」は無視するとしても、(4)の「途中式等」って、どうする？ stomachmanはいきなり答しか書けないなあああ。

No.4 回答者： Tacosan 回答日時： 2022/12/23 13:59

R[x]2 の元を基底の線型結合で書いて, それを T で変換したものをやっぱり基底の線型結合で書いて, ってやればちょっとは「途中式等」になるんじゃないかなぁ＞#3. あるいは「T の表現行列とはどのようなものなのか」も書いておくとか.

まあ確かにこんな簡単な基底だとがんばって無駄に長くしようとしてもさすがに無理がある.

No.5 回答者： mtrajcp 回答日時： 2022/12/30 11:30

(1)

f,g,h,0∈V=R[x],1,a∈R
に対して
f+g∈V
af∈V
f+(g+h)=(f+g)+h
f+g=g+f
f+0=f
f+(-f)=0
a(f+g)=af+ag
(a+b)f=af+bf
1f=f
が成り立つから
R[x]はR上のベクトル空間である

(2)
f,g∈V=R[x],b,a∈R
に対して
T(af+bg)
=(af+bg)'
=af'+bg'
=aT(f)+bT(g)
が成り立つから
Tは線形変換である

(3)
f∈V=R[x]_2
は高々2次の多項式だから
f(x)=a+bx+cx^2
となるa,b,c∈Rがあるから
{1,x,x^2}はR[x]_2の基底である

(4)
f(x)=a+bx+cx^2
のとき
T(f(x))=f'(x)=b+2cx
だから
(a;b;c)を(b;2c;0)に対応させる行列は

(0,1,0)(a)=(b)
(0,0,2)(b).(2c)
(0,0,0)(c).(0)

だから

{1,x,x^2}に関するTの表現行列
=
(0,1,0)
(0,0,2)
(0,0,0)