整数問題について

(2^a)*(3^b)+(2^c)*(3^d)=2022

をみたす0以上の整数a,b,c,dを求めよ。

自分の解答：

両辺を6で割って
(2^(a-1))*(3^(b-1))+(2^(c-1))*(3^(d-1))=337
(2^(a-1))*(3^(b-1))(1+2^(c-a)*3^(d-b))=337
337は奇数かつ整数なのでa=1またはc-a=1-a
a=1のとき
3^(b-1)*(1+2^(c-1)*3^(d-b))=337
337は3の倍数でないかつ整数なのでb=1またはd-b=1-b
b=1のとき
1+2^(c-1)*3^(d-1)=337
解なし
d-b=1-bのとき
3^(b-1)+2^(c-1)=337
c-1=8
b-1=4
よって(a,b,c,d)=(1,5,9,1)
c-a=1-aのときも同様に(a,b,c,d)=(9,1,1,5)

アドバイスください。

質問者からの補足コメント

• a=0なら、(3^b)+(2^c)*(3^d)=2022
  
  左辺は偶数なので、c=0
  3^b+3^d=2022
  3^6=729
  3^7=2187
  
  なので解なし
  
  c=0も解なし
  
  b=0のとき
  (2^a)+(2^c)*(3^d)=2022
  (2^a)*(1+2^(c-a)*(3^d))=2022
  a>=1なのでa=1またはc-a=-a
  a=1のとき解なし
  c-a=-aのときはすでに求めている解がある。
  
  d=0のときも同様
  
  これでどうですか

    補足日時：2023/07/10 23:45

No.3 ベストアンサー 回答者： endlessriver 回答日時： 2023/07/11 00:38

#1の返信でよいと思います。

・補足について
全般的に端折りすぎてわからない。
「a=1のとき解なし」の根拠が分からない。

「c-a=-aのときはすでに求めている解がある。」とあるが
この時は c=0 であり、上で、c=0 の時は解無、としている。

No.2 回答者： Tacosan 回答日時： 2023/07/10 23:46

「c-a=1-a」や「d-b=1-b」が不思議な感じ. c=1 や d=1 の方が素直だと思うのだ.

No.1 回答者： endlessriver 回答日時： 2023/07/10 22:43

基本的に良いと思いますが、ぬるい所がある。

1.
a,b,c,d≧1 として計算しているので、設定間違いと思うが、その
検討をする。

1.1　a=0 とする

　　3^b+2^c・3^d=2022
　左辺第1項は奇なので、左辺第2項も奇でないと、与式は満た
　さない。だから、c=0.　すると
　　3^b+3^d=2022・・・・①

　このとき、b=0 なら
　　1+3^d=2022 → 3^d=2021(3の倍数でない)
　なので、b≧1. すると
　　3^(b-1)・{1+3^(d-b)}=2022/3=674(3の倍数でない)
　なので、b=1. すると
　　　1+3^(d-b)=674 → 3^(d-b)=673(3の倍数でない)
　　　　・・・・②
　なので、a=0 の場合は無い。

　つまり、a≧1

　②では、d≧b としたが、d<b のときは
　　3^d・{3^(b-d)+1}=2022=2・3・337(素因数分解)
　となり、d=1 となる。すると
　　3^(b-d)+1=2・337 → 3^(b-d)=336=3・112
　となり、2の倍数にならず、d<bの場合は無い(a=0,b=1)。

1.2　b=0 とする(上から、a≧1として)

　　2^a+2^c・3^d=2022
　ここで、c=0 なら、左辺は 偶+奇=奇　なので、c≧1.
　すると
　　2^(a-1){1+2^(c-a)・3^d}=1011
　右辺は奇だから、a=1、すると
　　2^(c-a)・3^d=1010(3の倍数でない)
　となるので、d=0、となり
　　2^(c-a)=1010=2・5・101
　となるが、この式は満たされない。したがって、b≧1.

　ここでも、c≧a としたが、c<a のときも、上と同様に
　議論できる。


2.
以上から
　a,b≧1 とする。

2.1

　2^(a-1)・3^(b-1)+2^(c-1)・3^(d-1)=337
において
　a≦c, b≦d・・・・③
と仮定すると
　2^(a-1)・3^(b-1){1+2^(c-a)・3^(d-b)}=337(素数)
だから
　a=b=1
となり
　1+2^(c-a)・3^(d-b)=337
→ 2^(c-a)・3^(d-b)=336=2⁴・3・7
となり、③の場合は無い。

2.2

そこで、
　a≦c, b>d・・・・④
とする。

　2^(a-1)・3^(d-1){3^(b-d)+2^(c-a)}=337(素数)
したがって、
　a=d=1
となる。すると
　3^(b-1)+2^(c-1)=337 → 2^(c-1)=337-3^(b-1)
を得る。

この右辺が正になるためには b≦6. (④から b≧2)
　b=6 → 2^(c-1)=337-243=94=2・47・・・不可
　b=5 → 2^(c-1)=337-81=256=2⁸ → c=9・・・OK
　b=4 → 2^(c-1)=337-27=310=2・5・31・・・不可
　b=3 → 2^(c-1)=337-9=328=2³・41・・・不可
　b=2 → 2^(c-1)=337-3=334=2・167・・・不可

したがって、
　(a,b,c,d)=(1,5,9,1)・・・・⑤
を得る。

ここで
　a≦c
と仮定したが、(a,c) と(b,d)に対して、与式は対称だから
　(a,b,c,d)
が解なら
　(c,d,a,b)
も解となる。つまり、
　(9,1,1,5)・・・・・⑥
も解となる。

以上により、⑤⑥が解となる。


ゴテゴテしているが、整数論を使えばもっとスマートな解法
があるかもしれない。

この回答へのお礼

おっしゃる通りですね

a=0なら、(3^b)+(2^c)*(3^d)=2022

左辺は偶数なので、c=0
3^b+3^d=2022
3^6=729
3^7=2187

なので解なし

これでどうですか。

お礼日時：2023/07/10 23:32