写真の②の式がよくわからないです。 確かに、各文字に具体的な数値を代入したら②が成り立つことはわかる

写真の②の式がよくわからないです。
確かに、各文字に具体的な数値を代入したら②が成り立つことはわかるのですが、なぜy=axのときだけ、②のように表せるのかのイメージがわかない？どういう意味があるのか？というか、何というか、変化後の関係式が②のように表せるのがわからないです。(例えば、y=ax²について具体的な値を代入したところ②と同じようにy+Δy=a(x+Δx)²と表すことはできませんでした。)

質問者からの補足コメント

• もしかしてですが、2の式は「この関係が成り立つ」ということを表しているのてはなく、とりあえず適当にx,yが変化した量をΔx,Δyと置いているだけですか？

    補足日時：2023/10/02 15:38

No.3 ベストアンサー 回答者： yhr2 回答日時： 2023/10/02 16:42

何が疑問なのでしょうか？

y1 = a･x1　　　　①
は
　x1 → x2 = x1 + Δx　　②
になれば
　y2 = a･x2
になります。

②を使えば
　y2 = a･x2
　　 = a(x1 + Δx)　　　③　
です。

ここで、y の増加分を
　y2 - y1 = Δy
とすれば
　y2 = y1 + Δy
ですから、③は
　y1 + Δy = a(x1 + Δx)
となります。

(x1, y1) は任意の (x, y) に対して成り立つので
　y + Δy = a(x + Δx)
となります。


補足に書かれている

＞とりあえず適当にx,yが変化した量をΔx,Δyと置いているだけですか？

は違います。
上のように、y=ax の関数で対応付けられた「Δx と Δy」です。


＞例えば、y=ax²について具体的な値を代入したところ②と同じようにy+Δy=a(x+Δx)²と表すことはできませんでした。

そりゃあ、そうです。
上と同じようにやってみれば

y1 = a(x1)^2　　　　①'
は
　x1 → x2 = x1 + Δx　　②'
になれば
　y2 = a･(x2)^2
になります。

②' を使えば
　y2 = a･(x2)^2
　　 = a(x1 + Δx)^2
　　 = a･(x1)^2 + 2a･x1･Δx + a･(Δx)^2　　③'
です。

ここで、y の増加分を
　y2 - y1 = Δy
とすれば
　y2 = y1 + Δy
ですから、③' は
　y1 + Δy = a･(x1)^2 + 2a･x1･Δx + a･(Δx)^2
となります。

当然
　y + Δy = a(x + Δx)
とはならず、③' のように
　y + Δy = a(x + Δx)^2
となります。


おそらく「微分」のところで出てきた話なのかと思いますが、一般の「曲線」も、Δx を極めて小さくとれば、
　Δx → 0
の極限で「接線」という「直線とみなせる」という意味での
　y = ax
なのだろうと思います。
どんな関数であろうと（それが y=ax^2 であっても）、特定の x における「接線」という「直線 y =ax」について議論しているのではありませんか？

No.5 回答者： AっKI 回答日時： 2023/10/02 19:53

図を描いてごらんなさい。

No.4 回答者： tknakamuri 回答日時： 2023/10/02 17:55

関数f(x)のxがΔxだけ変化した時の

f(x)の変化量は

f(x+Δx)-f(x) ですよね。

これをΔyと書くことにすると
Δy=f(x+Δx)-f(x)

f(x)=axの場合
Δy=a(x+Δx) - ax=aΔx

f(x)=ax^2 の場合
Δy=a(x+Δx)^2 - ax^2=2axΔx+a(Δx)^2

No.2 回答者： mtrajcp 回答日時： 2023/10/02 16:37

y=ax

のときだけでなく
y=ax²
のときも
y+Δy=a(x+Δx)²
と表すことはできます
Δy=a(x+Δx)²-y
Δy=a(x+Δx)^2-ax²
Δy=a{x^2+2xΔx+(Δx)²}-ax²
Δy=2axΔx+a(Δx)²
Δy/Δx=2ax+aΔx
∴
dy/dx=lim_{Δx→0}(Δy/Δx)=2ax

No.1 回答者： kairou 回答日時： 2023/10/02 15:30

画像を添付していますが、この画像を読んでいますか。

「y=ax (aは定数) で表せれるとき、つまりx と y が比例するとき」って。
y=ax² は x と y は 比例しませんよね。
従って 当然 その式は 成り立ちません。

この回答へのお礼

なぜ比例関係(y=ax)のとき、②の式が成り立つのですか？

お礼日時：2023/10/02 15:32