漸化式の解き方 p(n+1) = (1/4) * p(n) + (1/2)^(n+1) p1 = 1

漸化式の解き方

p(n+1) = (1/4) * p(n) + (1/2)^(n+1)
p1 = 1/2

こちらを漸化式を用いて解くにはどのようにしたらよいでしょうか？

No.1 回答者： ありものがたり 回答日時： 2023/11/22 18:20

漸化式を 4^(n+1) 倍すると、

( 4^(n+1) )p(n+1) = ( 4^n )p(n) + 2^(n+1) となる。
( 4^(n+1) )p(n+1) - ( 4^n )p(n) = 2^(n+1) の両辺を
n = 1,2,3,...,N-1 で Σ すれば、
( 4^N )p(N) - ( 4^1 )p(1) = Σ[n=1...N-1] 2^(n+1)
　　　　　　　　　　　= ( 2^2 )(1 - 2^N)/(1 - 2).　；等比数列の和
よって、
p(N) = { ( 4^1 )(1/2) + ( 2^2 )(1 - 2^N)/(1 - 2) }/( 4^N )
　　= 4(1/2)^N - 2(1/4)^N.