高校数学の漸化式について解説していただきたいです。 a[n+1] = (1/2) * a[n] +

高校数学の漸化式について解説していただきたいです。

a[n+1] = (1/2) * a[n] + (1/2)*((1/(2^n) - (1/(4^n))
a[0] = 0
どのように解いたらよいでしょうか？

よろしくお願いいたします。。

No.1 回答者： ありものがたり 回答日時： 2023/11/22 19:32

前問

https://oshiete.goo.ne.jp/qa/13660756.html
に、驚くほどよく似ている。
質問を投稿する前に、前の質問の回答を読んで
自分で考えてみたほうがよかったんじゃないか？

漸化式の両辺を 2^(n+1) 倍すると、
( 2^(n+1) )a[n+1] = ( 2^n )a[n] + 1 - (1/2)^n.
( 2^(n+1) )a[n+1] - ( 2^n )a[n] = 1 - (1/2)^n. の両辺を
n = 0, 1, 2, ..., m-1 で Σ すると、
( 2^m )a[m] - ( 2^0 )a[0] = Σ[n=0...m-1]{ 1 - (1/2)^n }
　　　　　　　　　　　= m - 1{ 1 - (1/2)^m }/(1 - 1/2) より
a[m] = { 0 + m - { 1 - (1/2)^m }/(1 - 1/2) }/2^m
　　= (m - 2)/2^m + 2/4^m.