数Ⅲの積分の内容です y=cosx (0≦x≦π/2)とy=-(2/π)x+1で囲 まれた部分をy軸

数Ⅲの積分の内容です　
y=cosx (0≦x≦π/2)とy=-(2/π)x+1で囲
まれた部分をy軸回転させた部分の体積を求めよという問題なのですがどう求めるのでしょうか？

No.5 ベストアンサー 回答者： masterkoto 回答日時： 2023/12/05 16:04

コサイン曲線の作る立体から

直線の作る立体の体積を引く
という方法が、考え方としては楽でしようか…
直線の作る立体は円錐だから簡単に体積がわかりますよね…割愛

コサインのほうは
回転体を水平に輪切りにしていきます(等間隔にスライスします)
高さyで立体を水平に輪切りにすると
断面の円の面積は
πx²ですから
非常に薄くスライスした場合
１枚の輪切りは、ほぼ円柱で
それは、底面、上面ともに面積πx²の円で
厚さはΔyとしておきますと
その体積は
πx²Δy
ですよね
この薄切りスライスの体積を
y＝0の高さにあるものから
y＝1にあるものまで
すべて足せば、回転体の体積になります
回転体の体積＝Σπx²Δy
と言う事です
で、Δyを極限まで薄くすると考えると
Δyはｄyとなり
また、Σは「総和」を意味する記号∫として
回転体の体積＝Σπx²Δy＝∫πx²ｄy
積分区間省力
です
ここまでは、教科書の公式にあてはめるのも良いですが、この先がポイント
yの式の積分はややこしいでしょうから
y＝cоsxより
dy＝-sinxdx
として置換積分です
置換なので、積分区間にも注意します

No.4 回答者： yhr2 回答日時： 2023/12/05 15:26

No.2&3です。

要するに、どのように「細切れ」にして「区分求積」するかの方法論を考える問題です。
いろいろな分け方があるので、自分のやりやすい方法であればよいです。

#2 に書いたように
　y = cos(x)
が作る体積から
　y = -(2/π)x + 1
が作る体積を差し引いてもよいです。

No.3 回答者： yhr2 回答日時： 2023/12/05 15:22

No.2 です。

#2 に書いたやり方だと、「逆三角関数」が出てくるので、高校数学の範囲内であれば次の方法でしょうか。

x (0≦x≦π/2) における曲線と直線の間の「長さ」を求め、それをｙ軸の回りに回転させたときの「円筒表面」の面積を求める。

その面積と微小厚さ dx との「円筒薄皮」の体積を求める。

その体積を「x：0→π/2」で足し合わせる（積分する）ことで立体の体積が求まります。

No.2 回答者： yhr2 回答日時： 2023/12/05 14:59

まずは「曲線、直線で囲まれた部分」を図示できますか？

その部分を y軸の周りに回転させた立体は、どの立体からどの立体を差し引いたものであるかを認識できますか？

それを、y軸に直行する平面で「輪切り」にした「中空円」の面積を求められますか？

その面積で微小厚さ dy の「極めて薄い中空円柱」の体積は求められますか？

その体積を「y：0→1」で足し合わせる（積分する）ことで立体の体積が求まります。

No.1 回答者： LHS07 回答日時： 2023/12/05 14:52

三角関数の積分の方法は

教科書に例題としてのっています。
例題を何回も何回もわかるまで読みましょう。

10回読んでもわからなければ
積分の最初から読みましょう。

これでもわからなければ
微分の最初から読みましょう。

読んだ回数だけ理解します。