円錐の表面積の求め方（中1の数学）

底面が半径5cmの円、母線の長さが13cmの円錐の表面積を下記の方法で求めたいのですが、答えが出ません。
数字を変えただけの他の円錐はこの方法で解けるのですが、何故かこの問題だけ解けません。どこが違っているのでしょうか？

（2π×5）：（2π×13）＝ｘ：360

上記の式のようにおうぎ形の中心角を求めてから、解きたいのですが、この式が割り切れません。
何がいけないのでしょうか？

学校の問題集は、円錐の表面積はこのやり方でおうぎ形の中心角を求めてから、おうぎ形の面積を出して、底面の面積を足すという方法で書いてあるので、このやり方で解きたいのです。

宜しくお願い致します。

No.2 ベストアンサー 回答者： masterkoto 回答日時： 2023/12/20 21:10

割り切れないなら

分数にしておきます

a÷ｂ＝a/ｂだから

中心角＝1800/13になりますかね…

そしたら、

側面の面積＝π×母線×母線×(中心角÷360)

で計算です

一工夫するなら

x＝

を求めず

x/360＝5/13と求めて

公式の(360分の中心角)へ

5/13をあてはめ

側面の面積＝π×母線×母線×(5/13)

と計算しても良いです


エキスパートなら

側面の面積＝母線×半径×π

を利用して、サッと求めます

(この公式は、

母半π

と覚えている人が多いです)

この回答へのお礼

回答ありがとうございます。
割り切れないなら分数のままでいいのですね！
公式は知っているので公式で計算してしまえば早いのですが、学校の問題集がこのやり方なので、どうしてもこの式でのやり方が知りたかったのです。
ただ母半πという覚え方は知りませんでした。
自分も今後は母半πで覚えておこうと思います‼︎
ありがとうございました‼︎

お礼日時：2023/12/20 23:25

No.5 回答者： tknakamuri 回答日時： 2023/12/21 08:59

別に割り切れなくてかまいません。

割り切れなくてはいけないとという考え方が
どこから来るのか興味深いです。

x = 2π×5 × 360 / (2π/13) = 360 × 5/13

側面積 = 扇形の面積 = π × 13^2 × (x/360)
=π × 13^2 × (5/13) = π× 13 × 5 = 65π

これに底面積を足せば表面積になります。

No.4 回答者： ありものがたり 回答日時： 2023/12/20 21:15

＞ 何がいけないのでしょうか？

割り切れないといけないと思い込んだことがいけない。
その式の ｘ は、円錐の側面を展開した扇形の中心角。
0° より大きく 360° より小さい実数であればよく、
整数にならなければならない理由はない。
分数の値で求めた x を、そのまま使って計算すればいい。

この回答へのお礼

回答ありがとうございます。
角度は絶対に整数になるだろうと思い込んでいたのが間違いでした。
分数でもいいんですね。
為になりました。
ありがとうございました‼︎

お礼日時：2023/12/20 23:38

No.3 回答者： kairou 回答日時： 2023/12/20 21:14

角度を求めなくても、面積で 答えが出るでしょ。

半径 13cm の円の面積の (13cm の円周) 分の (5cm の円周) 。
尚、このような問題は 必ず 整数の答えとは限りません。
分数の答えになることもあります。

この回答へのお礼

回答ありがとうございます。
そうなんです、面積で答えが出るのもわかってはいるのですが、学校の問題集が中心角を求めてから答えを出すやり方なので、どうしてもこのやり方で解きたかったのです。
数学は整数ばかりが答えではないという事を頭に叩きこんでおきます‼︎
ありがとうございました‼︎

お礼日時：2023/12/20 23:35

No.1 回答者： kokorororo 回答日時： 2023/12/20 21:10

質問の式は、おうぎ形の中心角を、母線の長さと底面の半径の比で表そうとしているという式です。

しかし、この式は、おうぎ形の中心角が、360度に一致するという前提に立っています。

つまり、母線の長さと底面の半径の比が、360度を割り切れる数になる場合にのみ、この式が成立します。

ご質問のケースでは、母線の長さが13cm、底面の半径が5cmなので、比は26/5となります。

この比は、360度を割り切れないので、おうぎ形の中心角は360度にはなりません。

そのため、この式は、ご質問のケースでは成立しません。

おうぎ形の中心角を求める方法は、以下のとおりです。

中心角θ = 360 × 2πr / (2πh)
ここで、

θ：おうぎ形の中心角
r：底面の半径
h：母線の長さ
となります。

ご質問のケースでは、

中心角θ = 360 × 2π × 5 / (2π × 13)
θ = 100
となります。

したがって、おうぎ形の中心角は100度となり、側面積は、底面積と合わせて、π × 5 × 13 = 65πとなります。

なお、円錐の表面積は、底面積と側面積を足した値となります。
ベストアンサーをいただけると貴方に寄り添う回答を今後も頑張ります。

この回答へのお礼

回答ありがとうございます。
成立しない場合があるのですね。
その場合の計算の方法を教えてくださり為になりました。ありがとうございました‼︎

お礼日時：2023/12/20 23:19