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f(x,y)=c(定数)のとき、dy/dxを求めよという問題です。最後の答えのところで、分母がfをyで偏微分したものになってますが、定数関数をyで偏微分したら、0になりますよね?それでも分母にあっていいのか疑問です。よろしくお願いします。

「f(x,y)=c(定数)のとき、dy/d」の質問画像

A 回答 (5件)

後、分かっていると思うけど



f(x, y) = 0
は関数の陰関数表示と言って、関数の定義法の一つ。

f(x, y) = x + y

f(x, y) = 0 を解くと
x + y = 0 だから
y = -x = g(x)
とすると、関数 g(x) = -x が新たに定義でできます。

dy/dx = dg(x)/dx=-1 だけど

dg(x)/dx = -(∂f(x, y)/∂x)/(∂f(x, y)/∂y)=-1/1 = -1

とも書けるというのが解説の意味。

この辺、理系の大学生でも誤解している人がごろごろいるので、
先生にしっかり学ぼう。
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この回答へのお礼

詳しくありがとうございました!わかりやすかったです!

お礼日時:2024/04/21 16:53

f(x,y) = c を、∀x,y, f(x,y) = c と誤解してしまったのかなあ...


f( , ) が定数関数である場合(に限って)は、あなたの言うとおり。
f( , ) が定数関数なら、0 = (∂f/∂x)dx + (∂f/∂y)dy は
0 = 0 dx + 0 dy となるから、dy/dx = ... とは書き換えられない。

微分の計算以前に、∀x,y, f(x,y) = c なら f(x,y) = c は恒等式で
この式が x と y の関係を定めないのは、アタリマエだ。

解答だけで問題文が書かれていないが、その練習問題は、おそらく
f( , ) が定数関数だという話ではあるまい。

f(x,y) が y に関して定数でなければ、すなわち
∂f/∂y が定数関数 0 でなければ、 f(x,y) = c は x と y の関係式となり、
dy/dx は写真の計算のように求められる。
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訂正 肝心なところで脱字 


>f(x, y) = 0 で表される陰関数 fとは「別の」関数なのです。
f(x, y) = 0 で表される陰関数は、 fとは「別の」関数なのです。
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例えば


f(x, y) = x + y

としましょう。

f(x, y) = 0 という「陰関数」の定義はあると
∂f/∂x = 0 になると思ってませんか?

∂f/∂x = ∂(x + y)/∂x = 1

が正解です。

f(x, y) = 0 で表される陰関数 fとは「別の」関数なのです。
f は最初に与えた定義の通りに計算しなければなりません。
f(1, 1) = 2

f(x, y) = 0
とは無関係なのです。

f(x, y) = 0
は陰関数の定義であって、この式を解くことで得られる
x と y の関係です。
それはfとは別物なのです。
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ちょっと違うのです。



例えばですが、f = x + y であって、かつ y = -x を満たす時
x = 0 の時 y = 0
x = 1 の時 y = -1
x = 2 の時 y = -2
のような場合 x + y = 0 ですけれども、x が 1 変化する時 y は -1 変化しますね。

ここで 偏微分 ∂f / ∂x = 1 であり、∂f / ∂y = 1 ですね。
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