余剰次元を減らすことは可能か？

重力と強電弱相互作用を統一する理論の最有力候補として弦理論が研究されていると思います。
ボソンを主に扱うボソン弦理論では２６次元が、フェルミオンも扱えるように超対称性を取り入れた超弦理論では１０次元(場合によっては１１次元)が必要とされています。この次元数が導かれる式が次式となります(間違っているかも知れませんが、理解できる限りではこうなりました。以下、この式を前提とします)
0=1+(1/2)S(D-2)：ボソン弦理論　0=1+(3/2)S(D-2)：超弦理論　D:次元数
Ｓ=1+2+3+…
普通ならSは無限大に発散しますが、S=-1/12　とする特殊な計算方法があり、これを採用するとボソン弦理論の場合D=26に、超弦理論の場合はD=10となります。現実に観測されている宇宙は４次元ということから、ボソン弦理論の場合は２２次元、超弦理論の場合は６次元が余剰次元となり、これを何とかしなければならなくなります。方法の一つとして、次元のコンパクト化、つまり、非常にミクロのサイズに余剰次元が丸まっているという考え方があります。
今のところ、コンパクト化された余剰次元の兆候が発見された事実はないようですがないとは言い切れない。しかし、何とかして余剰次元を減らし、必要な次元数を４にできないか？とは誰でも考えることではないでしょうか？結局、次元数が２６とか１０になってしまうのは、S=-1/12という値を採用するからで、Sを異なる値にすることができればということが一つの候補となると思いました。
S=-1/12という値は、次のように計算することからきています。
S₁=1-1+1-1+1…、S₂=1-2+3-4+5-6+…　とする。計算方法を工夫することで、S₁=1/2、2S₂=S₁
からS₂=S₁/2でS₂=1/4、またS-S₂=4SからS=-S₂/3でS=-1/12となるということです。
ここで、S₁が条件収束する無限級数ということから、計算方法を工夫して、S₁=6とできたとします。
(具体的には例えばS₁=1+1+1+1+1+1+(-1+1-1+1…)といった形に変更できるとした場合)
すると、ボソン弦理論の場合、S₂=S₁/2=6/2=3、S=-S₂/3=-3/3=-1という結果を、次元数を評価する式に代入し、0=1+(1/2)(-1)(D-2)から0=1-(D-2)/2となることからＤ=4とできる。これで観測で確認される宇宙の次元数と一致します。また、超弦理論の場合は、S₁=2とできるなら、S₂=1、
S=-1/3となって次元数の評価式に代入すると、0=1+(3/2)(-1/3)(D-2)=1-(D-2)/2からD=4となります。
数学的に、解析接続の方法とか再配列定理を用いて、S₁やS₂、Sを上記のように計算できるなら、余剰次元を０とできるのに、なぜ、その方法を検討しないのか？それが疑問です。
考えられるのは、解析接続や再配列定理があるとしても、上記のような計算方法は許されないということ。
もう一つは、仮に数学的には許容されているとしても、弦理論の性質上、S=-1/12 以外の値は許されないという可能性です。もしくは、Sが-1/12以外の値も可能かもしれないが、現在、余剰次元の問題を除いて、理論が最もうまくいくのがS=-1/12の場合であり、これ以外の値にすると余剰次元の問題は解消しても他にどんな問題が出てくるかわからない。余剰次元の問題を解決するだけのために、そんな冒険はできない、という事情から、このような方法は検討されていないということなのでしょうか？

質問者からの補足コメント

• 文中、次元数を評価する式、という表現を使用していますが、あくまで便宜的な呼称です。実際は、光子の質量・エネルギーに関する式ということのようです。

    補足日時：2024/06/09 14:00

• 「オイラーの公式を当てはめて解くと…」というところで、自然数の無限和S= -１/１２を当てはめるということになりますが、なぜ、ー1/12の値に特定されるのでしょうね？

  No.2の回答に寄せられた補足コメントです。 補足日時：2024/06/15 11:19

No.2 回答者： tsumina 回答日時： 2024/06/15 00:02

短期間ですが弦理論の次元数について、いくつか専門的な資料を含めて調べてみました。

調べた限りでは、次元数が26または10となることが既に前提となっているような印象でした。

そのとおりです。空間次元が２５次元まはた、９次元になるのは、回答したように、弦の振動エネルギーを計算し、その総和がゼロつまり、実際の世界で光子の質量がゼロという条件から、一意に決まるものです。

２つの違いは、弦が振動する自由度が２つのモデルでは違うため、求められる空間次元が変わります。２５次元は、日本の誇る物理学者、南部陽一郎先生のオリジナル弦理論。９次元が超弦理論と言われるものです。

＞一つだけ、次元数が２６または１０となることの理由として、弦の振動の自由度がピッタリと定まるということが挙げられた資料がありました。弦の振動の自由度が一意的に定まらない次元数が結構あるようなのです。

しつこいなぁ・・・空間次元は、上記で１意に決まります。

＞しかし、敢えて言えば、次元数が４の場合でも、数式的には、弦の振動が不定性を持たずに定まるのではないか、と考えられるのです。

本末転倒です。物理は、自然現象を記述するのです。辻褄合わせじゃない。できたモデルから、光子のエネルギー（質量）を計算し、それが現実ゼロなんだから得られた答え。弦の振動数を調整しているわけではありません。あなたが、資料の意味を誤解しているだけです。

＞他にレッジェ軌道の傾きが変わってしまうのではないか、などとも考えてみましたが、これもうまくパラメータを選んでやればそれほど問題ではないのではないか、と思うのです。次元数が４ではうまくいかない要因を何か一つでも具体的にご教示いただけないでしょうか？専門家の用いる方程式や関数を使った専門的な説明でも構いません。

持論はいいから、説明を聞いてよ。同じことしか言わないよ。
・弦を仮定し、エネルギーを計算する。
（単純な波動の振動エネルギーです）それは３つにわけられる。
①弦の振動モードのエネルギー（１，２倍、３倍・・・と無限に加算）
②振動を起こす最低エネルギー
③空間次元から進行方向を除く分だけ、①を倍増

このトータルを計算し、ゼロになるように方程式を作る。有名なオイラーの公式を当てはめて解くと、空間次元が２５または９となる。時間を足して、２６または１０次元。

ポイントは何度も繰り返しますが、数式の調整ではありません。光子がゼロとなる観測事実を方程式に代入して、得られた次元という意味です。

No.1 回答者： tsumina 回答日時： 2024/06/10 15:20

超弦理論のコンテキストは、

・　素粒子を弦の振動と考える。
・　その振動モードの合計を計算する。
・　光子の質量がゼロという制約をかす

その計算結果が、数学的に導かれた空間９次元です。
現実は、空間３次元なのですから、差の６次元につてい考える必要がある。

空間のコンパクト化もその一つ。その空間の性質が、すでに体系化された標準理論の、説明できないパラメータや、構造を説明できるかどうか？研究はチャレンジしているのです。

光子の質量、超弦理論の振動モード仮説、現実の空間次元からくる話なので、数式をいじる話ではありません。

この回答へのお礼

ご意見有難うございます。短期間ですが弦理論の次元数について、いくつか専門的な資料を含めて調べてみました。調べた限りでは、次元数が26または10となることが既に前提となっているような印象でした。一つだけ、次元数が２６または１０となることの理由として、弦の振動の自由度がピッタリと定まるということが挙げられた資料がありました。弦の振動の自由度が一意的に定まらない次元数が結構あるようなのです。しかし、敢えて言えば、次元数が４の場合でも、数式的には、弦の振動が不定性を持たずに定まるのではないか、と考えられるのです。他にレッジェ軌道の傾きが変わってしまうのではないか、などとも考えてみましたが、これもうまくパラメータを選んでやればそれほど問題ではないのではないか、と思うのです。次元数が４ではうまくいかない要因を何か一つでも具体的にご教示いただけないでしょうか？専門家の用いる方程式や関数を使った専門的な説明でも構いません。

お礼日時：2024/06/14 20:42