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書き込んでしまって申し訳ないのですが、答えてくれると助かります

「書き込んでしまって申し訳ないのですが、答」の質問画像

A 回答 (7件)

AF=√(15^2 +a^2)


△ABE ∽ △ADG から AG=17*15/8
cos A=8/17 から 半角の公式から
(cos A/2)^2=(1+cos A)/2=(1+8/17)/2=(17+8)/17*2=25/34
cos A/2=√(25/34)=5/√34
内角の二等分線に関する公式
https://manabitimes.jp/math/652
より
(15+17*15/8)AF=2*15*(17*15/8)*(5/√34)
(15*8+17*15)AF/8=2*15*(17*15/8)*(5/√34)
375AF/8=2*15*17*15*5/8*√34
15*5*5AF/8=2*15*17*15*5/8*√34
AF=2*17*3/√34
√(15^2 +a^2)=2*17*3/√34
225+a^2=(2*17*3)^2/34
a^2=(2*17*3)^2/34 -225=2*17*3*3-225=81=9^2
∴DF=a=9 (>0)
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座標と合同と点と距離の公式より


A(0,0)
B( 0,-15)
C(15, -15)
D(15,0)
F(15 , -a) とおけば
三角形の合同から DF=FH より
点と距離の公式から
直線AE; y= - 15x/8 ∴8y= -15x  ∴15x+8y=0
だから FHはFから直線AEまでの距離だから
a={15(15)+8( -a)}/√(15^2+8^2)
=(225-8a)/17
∴17a=225-8a
∴(17+8)a=225
∴ a=9

No5の  補助線も不要! は蛇足でした!!!
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三平方の定理から AE=17


AE と DC のそれぞれの延長線の交点をG とすれば
△ABE ∽ △ADG から
8:15=15:GD
8:17=15:AG
GD=15*(15/8)=15*15/8
AG=17*(15/8)=17*15/8
角の2等分線の公式から
AG:AD=17*15/8 :15=17/8 :1=17:8 から
よって
DF=GD*8/(17+8)=(15*15/8)*8/25=3*3=9

 大きい三角形△ADG ∽ △ABE の相似関係に気付けるかがポイント
また 8:15=15:GD  8:17=15:AG と別々にすると間違いがおこらない!
恐らく この方法が正攻法では?補助線も不要!
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∠DAF=Θ とすれば △ABEにおいて


15tan(90° ‐ 2Θ)=8
15/tan 2Θ=8
tan 2Θ=15/8
倍角の公式から
2tanΘ/(1-(tanΘ)^2 )=15/8
tanΘ=xとすれば
2x/(1-x^2)=15/8
16x=15(1-x^2)
15x^2 +16x-15=0
x=-16±√(16^2-4*15*(-15)) /(2*15)= -16±√(256+900) /30
=-16±2*17 /30
=9/15 のみ
よって DF=AD tanΘ=AD*x=15*(9/15)=9
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△ABE ∽ △GCE からGC,GEより


角の2等分線の定理から!
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見にくいのですがBCを8:7の内分点をEとし


AE と DC の延長線の交点をGとすれば まず
(三平方の定理から AE=17 )
△ADG と △ECG は相似なので
AD:EC=15:7
=AG:GE=(17+GE):GE
=DG:GC=(GC+15):GC
∴7(17+GE)=15GE  ∴GE=7*17/(15-7)=7*17/8
∴7(15+GC)=15GC ∴GC=7*15/(15-7)=7*15/8
角の二等分線の定理 AD:AG=DF:GF
と三平方の定理から求まりますが計算が大変なので
他の方法を考えました!

DF=xとして
正方形の面積は 15*15=225
三平方の定理から AE=17
補助線FからAEへの垂線との交点をHとすれば AH=15 で
△ADF と △AHF は 2辺とその挟む角度が等しく合同なのでDF=FH
また EH=17-15=2 なので
四角形ADFE=x*15/2 + x*17/2=(15+17)*x/2=16*x
正方形の面積は 
15*8/2 + 7*(15-x)/2 +16x=60+7*15/2 +(16-7/2)*x
∴225=60+7*15/2 +(16-7/2)*x
∴165-7*15/2=(16*2-7)*x/2
∴(165*2-7*15)/2=(32-7)*x/2
∴225=25*x
∴9=x=DF .................Ans (検算OK)
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引くべき補助線は2本です。


まずFE。次にFからAEに直交する直線を引き、AEとの交点をGとします。
この時、△AGFと△ADFはAFを軸にして線対称の関係になるので、AD=AG=15、三平方の定理からAE=17なのでGE=2となります。またDF=GFなので、仮にDF=xとするとGF=x、FC=15-xとなります。
ここで△FECと△FEGに注目すると、これら二つは斜辺FEを共通とする直角三角形なので、「ECの二乗+CFの二乗=GFの二乗+GEの二乗」の式にそれぞれの長さを入れてxを求めれば答えが出せるでしょう。
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