ガウス分布の積分

ガウス分布
1/(√(2π)σ) * exp(-x^2/(2σ^2))
の-σから+σまでの積分の仕方を教えてください。
0.6827くらいの値になると思います。

質問者からの補足コメント

• -∞から+∞ではなくて、
  -σから+σの有限な範囲での積分の仕方を知りたいのですが^^;

  No.1の回答に寄せられた補足コメントです。 補足日時：2024/06/29 16:26

• 解析的には解けないということですか？

  No.2の回答に寄せられた補足コメントです。 補足日時：2024/06/29 16:29

• ちょっとドツボに嵌ってしまったので教えてください。
  ガウス積分の極座標に変換した面積分で、rの範囲を0から∞であったものを
  0からσにかえて積分すると、√(1-e^(-1/2))となって計算してみると、0.6273
  となって、上記の0.6827にはならないようなのですが、この計算はどこが間違えて
  いるのでしょうか？

  No.4の回答に寄せられた補足コメントです。 補足日時：2024/06/30 07:48

• 原点を中心とした半径σの正方形の中で、rが動くので
  rの長さが偏角θに依存して変わってしまうと言うことですね。
  ありがとうございました。

  No.5の回答に寄せられた補足コメントです。 補足日時：2024/06/30 21:22

No.5 ベストアンサー 回答者： qas2021 回答日時： 2024/06/30 18:48

> この計算はどこが間違えているのでしょうか？

rの範囲を0から∞であったものを0からσにかえて積分したところですね。
極座標ということなので、動径 r の積分範囲は偏角により変わります。

Wikipediaに近似式が記載されているのでそれを使ったら如何でしょうか。

https://en.wikipedia.org/wiki/Normal_distribution

No.6 回答者： ありものがたり 回答日時： 2024/06/30 23:10

不定積分が初等関数の合成で書けないってことを

「積分できない」とネガティブに捉えることもできますが、
不定積分によって新しい関数が見つかったと前向きに
考えることもできます。

例えば、「誤差関数 erf」を
erf x = (2/√π) ∫[0,x] e^(-t^2) dt で定義すると、
正規分布 N(μ,σ^2) の累積分布関数は
∫[-∞,x] e^{ -((t - μ)/σ)^2 } dt = 1/2 + (1/2)erf( (x - μ)/((√2)σ) )
と書けます。

μ = 0, -σ < x < +σ での積分は、∫[-σ,+σ] e^{ -((t - 0)/σ)^2 } dt
= (1/2){ erf( 1/√2 ) - erf( -1/√2 ) }
= erf( 1/√2 )
≒ 0.6826894...
です。

= √( 1 - e^(-1/2) ) ≒ 0.6273... という計算は、
√( 1 - e^(-1/2) ) の時点で間違っていると思います。

No.4 回答者： yhr2 回答日時： 2024/06/30 00:37

No.1 です。

解析的には解けないので、統計では「標準正規分布表」という「表」を使うことが多いです。ちょっとアナログで昭和っぽいですが。
↓
https://unit.aist.go.jp/mcml/rg-orgp/uncertainty …

標準正規分布では、統計変数 Z は「標準偏差」で規格化し、かつ「右半分」のみ載っていますので

P(-σ≦X≦σ) = P(-1≦Z≦1)
　　　　　　= 2 × P(0≦Z≦1)

上記の「標準正規分布表」には「上側確率」が載っているので（「下側確率」が載っている表もあります）
　P(-σ≦X≦σ) = P(-1≦Z≦1)
　　　　　　　= 2 × P(0≦Z≦1)
　　　　　　　= 2 × [0.5 - P(1≦Z)]
　　　　　　　= 1 - 2 × P(1≦Z)
で、1 ≦ Z となる確率値
　0.158655
を読み取って
　P(-σ≦X≦σ) = 1 - 2 × P(1≦Z)
　　　　　　　= 1 - 2 × 0.158655
　　　　　　　= 0.68269


あるいは、表計算ソフト（エクセル等）の統計関数を使って
　= 1 - 2*(1 - NORM.S.DIST(1,1))
で求めることもできます。
関数「NORM.S.DIST(Z,1)」は、-∞～Z までの累積値を計算するので、上のような計算式にする必要があります。

No.3 回答者： Tacosan 回答日時： 2024/06/29 17:12

少なくとも

e^(-x^2)
の不定積分が初等超越関数では書けない, というのは知られているわけだから
F(1) - F(-1)
みたいには書けないねぇ.

No.2 回答者： Tacosan 回答日時： 2024/06/29 16:18

がんばって数値積分.

No.1 回答者： yhr2 回答日時： 2024/06/29 16:16

ガウス分布は、要するに「正規分布」の確率密度関数です。

積分のやり方は、例えばこんなところを参照ください。
↓
https://manabitimes.jp/math/931
https://manabitimes.jp/math/754