No.5ベストアンサー
- 回答日時:
> この計算はどこが間違えているのでしょうか?
rの範囲を0から∞であったものを0からσにかえて積分したところですね。
極座標ということなので、動径 r の積分範囲は偏角により変わります。
Wikipediaに近似式が記載されているのでそれを使ったら如何でしょうか。
https://en.wikipedia.org/wiki/Normal_distribution
No.6
- 回答日時:
不定積分が初等関数の合成で書けないってことを
「積分できない」とネガティブに捉えることもできますが、
不定積分によって新しい関数が見つかったと前向きに
考えることもできます。
例えば、「誤差関数 erf」を
erf x = (2/√π) ∫[0,x] e^(-t^2) dt で定義すると、
正規分布 N(μ,σ^2) の累積分布関数は
∫[-∞,x] e^{ -((t - μ)/σ)^2 } dt = 1/2 + (1/2)erf( (x - μ)/((√2)σ) )
と書けます。
μ = 0, -σ < x < +σ での積分は、∫[-σ,+σ] e^{ -((t - 0)/σ)^2 } dt
= (1/2){ erf( 1/√2 ) - erf( -1/√2 ) }
= erf( 1/√2 )
≒ 0.6826894...
です。
= √( 1 - e^(-1/2) ) ≒ 0.6273... という計算は、
√( 1 - e^(-1/2) ) の時点で間違っていると思います。
No.4
- 回答日時:
No.1 です。
解析的には解けないので、統計では「標準正規分布表」という「表」を使うことが多いです。ちょっとアナログで昭和っぽいですが。
↓
https://unit.aist.go.jp/mcml/rg-orgp/uncertainty …
標準正規分布では、統計変数 Z は「標準偏差」で規格化し、かつ「右半分」のみ載っていますので
P(-σ≦X≦σ) = P(-1≦Z≦1)
= 2 × P(0≦Z≦1)
上記の「標準正規分布表」には「上側確率」が載っているので(「下側確率」が載っている表もあります)
P(-σ≦X≦σ) = P(-1≦Z≦1)
= 2 × P(0≦Z≦1)
= 2 × [0.5 - P(1≦Z)]
= 1 - 2 × P(1≦Z)
で、1 ≦ Z となる確率値
0.158655
を読み取って
P(-σ≦X≦σ) = 1 - 2 × P(1≦Z)
= 1 - 2 × 0.158655
= 0.68269
あるいは、表計算ソフト(エクセル等)の統計関数を使って
= 1 - 2*(1 - NORM.S.DIST(1,1))
で求めることもできます。
関数「NORM.S.DIST(Z,1)」は、-∞~Z までの累積値を計算するので、上のような計算式にする必要があります。
No.1
- 回答日時:
ガウス分布は、要するに「正規分布」の確率密度関数です。
積分のやり方は、例えばこんなところを参照ください。
↓
https://manabitimes.jp/math/931
https://manabitimes.jp/math/754
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-∞から+∞ではなくて、
-σから+σの有限な範囲での積分の仕方を知りたいのですが^^;
解析的には解けないということですか?
ちょっとドツボに嵌ってしまったので教えてください。
ガウス積分の極座標に変換した面積分で、rの範囲を0から∞であったものを
0からσにかえて積分すると、√(1-e^(-1/2))となって計算してみると、0.6273
となって、上記の0.6827にはならないようなのですが、この計算はどこが間違えて
いるのでしょうか?
原点を中心とした半径σの正方形の中で、rが動くので
rの長さが偏角θに依存して変わってしまうと言うことですね。
ありがとうございました。