![](http://oshiete.xgoo.jp/images/v2/pc/qa/question_title.png?e8efa67)
No.4
- 回答日時:
高校の教科書とかだと、「逆」「裏」「対偶」という言葉の定義に
いい加減なことが書いてあるから、皆が混乱する。
教科書だと、命題 P,Q に対して命題 P⇒Q の
逆が Q⇒P, 裏が ¬P⇒¬Q, 対偶が ¬Q⇒¬P だと書いてある。
それはそれで結構なことなのだが、その定義だと、
「(a>0かつb>0)⇒ab>0」の逆, 裏, 対偶 は定義できないのだ。
なぜって、(a>0かつb>0) も ab>0 も「命題」ではないからだ。
(a>0かつb>0) や ab>0 は、自由変数 a, b を持つ「述語」である。
述語 P(a,b), Q(a,b) の真偽を決めることはできず、
真偽を考えるためには、述語 P(a,b)⇒Q(a,b) を命題にすり替える
ために ∀a,b,P(a,b)⇒Q(a,b) にでも置き換えて考えざるを得ない。
そこで、逆, 裏, 対偶 の定義も、命題 ∀a,b,P(a,b)⇒Q(a,b) の
逆が ∀a,b,Q(a,b)⇒P(a,b), 裏が ∀a,b,¬P(a,b)⇒¬Q(a,b),
対偶が ∀a,b,¬Q(a,b)⇒¬P(a,b) とでも変更しなければ意味をなさない。
このように「逆」「裏」「対偶」の定義にを変更してみると、
∀a,b,(a>0かつb>0)⇒ab>0 の逆は
∀a,b,ab>0⇒(a>0かつb>0) となり、
a = b = 1 のときに ab>0⇒(a>0かつb>0) が成り立つだけでは
∀a,b,ab>0⇒(a>0かつb>0) だとは言えないことが判るだろう。
∀ なんだから、他の a,b のことも考えろよ という話になり、
反例 a = b = -1 が見つかることになる。
要点: 命題と述語の区別くらいつけろ。
No.3
- 回答日時:
補足
命題の真偽には、集合と言うものを考えると良さそうです
ab>0を満たすようなa、bの組は
(1、1)や(-2、-√3)などなどがあり
これらの組すべてを集めたものを集合Aとします
a>0かつb>0を満たすようなa、bの組には(1、1)や(6、3/5)などなどがあり
これらの組すべてを集めたものを集合Bとします
このとき集合AがBに完全に包まれているなら、Aの要素であるa、bの組はすべて、かならずBの要素でもあるので
AならばBはかならず成り立つことになります
つまり、集合AがBにすっぽり包まれているならその命題は真
AがBからはみ出す部分があるならその命題は偽となります
ご質問の命題の逆では
A:ab>0を満たす組(a、b)=(-1、-1)などが
B:a>0かつb>0を満たす組には含まれていないので
集合Aは集合Bから一部はみ出してることになります
ゆえに偽と判断するのです
お探しのQ&Aが見つからない時は、教えて!gooで質問しましょう!
似たような質問が見つかりました
- 数学 命題の真偽の問題で 命題〇〇について逆・裏・対偶を延べその真偽を調べよ。 というのの解答が 逆、裏は 8 2024/04/15 19:38
- 数学 数学の「命題」の範囲について、問題は解けるのですが理解がイマイチできていないところがあるので質問させ 4 2023/03/03 13:43
- 高校 数学の命題で真偽どちらかになる例題を、一人何個あ げはっても構いませんので、教えてください! 真偽ど 3 2023/12/22 17:10
- 数学 行列について 2 2023/01/19 21:47
- 数学 数学で知識を整理したいです 同値性を意識する時はある命題の逆と同値になっていなければならないんですよ 5 2022/08/04 18:41
- 数学 写真の数学の質問です。 逆が成り立たないときの判断方法を教えてください。 6 2023/09/02 09:11
- 数学 高校一年生です。 数学で分からない単元があるので教えて欲しいです。単元は命題の真偽です。 出た課題の 4 2023/08/18 16:30
- 哲学 数学的能力と読解力は因果関係あるいは相関関係にあるとして、優位に立つのはどちらでしょうか? 6 2023/08/27 04:28
- 数学 次の命題は真なのでしょうか? 「任意の実数x,yに対して、"x=2ならばx+y=5" または "y= 9 2022/10/12 14:11
- 哲学 偽善と偽悪 6 2023/01/04 00:14
このQ&Aを見た人はこんなQ&Aも見ています
-
性格の違いは生まれた順番で決まる?長男長女・中間子・末っ子・一人っ子の性格の傾向
同じ環境で生まれ育っても、生まれ順で性格は違うものなのだろうか。家庭教育研究家の田宮由美さんに教えてもらった。
-
中二数学について質問です。 整数の性質のところで、nを整数とすると2の倍数は2n、3の倍数は3nなど
数学
-
数学での背理法について
数学
-
指数関数のような関数を初等超越関数というのを聞いたことがあります。 ネットで調べてもよくわからないの
数学
-
-
4
アラビア数字の前身では、数字の1・2・3を表わす際に、どのように表わしていたのですか?
数学
-
5
√-1 は、何になるのでしょうか
数学
-
6
数学の問題で質問です。 n,kは自然数とする。lim[n→∞]1/n!=0を使って lim[n→∞]
数学
-
7
整数問題です。
数学
-
8
むじゅん 委細な矛盾が生じるなら分数みたいな表記やめれば?って思いませんか?
数学
-
9
数学 なぜn²が4の倍数だとわかるのか
数学
-
10
1-1+1-1+…=?
数学
-
11
エックスの値は5cmですか?
数学
-
12
数学 ある自然数a,b,c,dは互いに素とし、 a/b>c/dという不等式が成り立つなら なぜb/a
数学
-
13
2次方程式x²+px+q=0の2つの異なる実数解をα, βとするとき、2数α+1, β+1が2次方程
数学
-
14
数学の質問です。 下記の問いの証明をお教えいただきたいです。 分数a=m/n(m,nは整数でn>0)
数学
-
15
ド・モルガンの法則がほんとに分かりません。 この法則を理解していなくても、問題は解けますか?
数学
-
16
三角不等式
数学
-
17
こういう積分って
数学
-
18
命題がわかりません!!
数学
-
19
以前にも質問させていただいたのですが、理解することができなかったので再度質問させていただきます。 写
数学
-
20
複素数の問題で質問があります
数学
おすすめ情報
このQ&Aを見た人がよく見るQ&A
デイリーランキングこのカテゴリの人気デイリーQ&Aランキング
-
a>b ⇒ a-b>0 の命題の逆と真偽
-
命題の真偽を調べよ。①直角二等...
-
「PならばQ」と「(Pでない...
-
任意の実数とは?
-
ゲーデルの第1不完全性定理の具...
-
g◦fが全射で、さらにgが単射な...
-
命題
-
ある範囲の素数の個数
-
数学の記号"⇔" "∴"の使い方を教...
-
ゲーデルの不完全性定理に現れ...
-
論理式について
-
無理数
-
dx/dy や∂x/∂y の読み方について
-
【数学】 lim x→a ↑これってど...
-
エクセルで(~以上,~以下)...
-
年代と年台・・・どちらが正し...
-
高2の数学の対数関数です。 真...
-
lim[n→∞](1-1/n)^n=1/e について
-
熱力学 (dU/dV)t の解
-
方程式 e^x=x+1 の解
マンスリーランキングこのカテゴリの人気マンスリーQ&Aランキング
-
「PならばQ」と「(Pでない...
-
写真の命題1.3の証明についてで...
-
数学の記号"⇔" "∴"の使い方を教...
-
a>b ⇒ a-b>0 の命題の逆と真偽
-
「帰納法とは、本来前提となる...
-
数学に詳しい人教えてください...
-
命題の否定でわからないところ...
-
無理数
-
任意の実数とは?
-
命題の真偽
-
命題の真偽を調べよ。①直角二等...
-
命題
-
【 数A 集合を用いた命題の真偽...
-
命題と論理式の違いは何でしょ...
-
命題がわかりません!!
-
ゲーデルの第1不完全性定理の具...
-
ある表現が命題かどうかを示す...
-
limsup(sinN)=1?
-
g◦fが全射で、さらにgが単射な...
-
数学 命題と条件 xは実数とする...
おすすめ情報