以下数学の問題があります。解法はではなくどのようにして解法を思いつくに至ったかの経緯を教えて下さい。

Question

以下数学の問題があります。解法はではなくどのようにして解法を思いつくに至ったかの経緯を教えて下さい。

1から10までの数字が1つずつ書かれた10枚のｶｰﾄﾞがある。この中から3枚のｶｰﾄﾞを同時に抜き出すとき、その3枚のｶｰﾄﾞに書かれた数字の和が3の倍数である確率を求めなさい。

一般には、1から10を3で割った余りを出してグループに分けして確率を求めると思います。

ただ、これって容易に思いつけるものでしょうか？
思いつく場合にはどのようにして思いついたのか教えてください。

または、事前によく似た問題を解法を見ながら解いたことがあれば、それが足掛りになったと教えて下さい。

宜しくお願い致します。

tsuyoshi2004 · Accepted Answer

まずは、３つの自然数の和が３の倍数になるということは、
A）３つとも３の倍数
B）３つとも３の倍数＋１
C）３つとも３の倍数＋２
D）３つが、３の倍数、３の倍数＋１、３の倍数＋２
のいずれかであることを考えます。
その上で、１～１０を
３の倍数である３，６，９
３の倍数＋１である１，４，７，１０
３の倍数＋２である２，５，８
それで、あとは上記のA,B,C,Dにおける確率を計算して合計する。
という手順で解くと思います。
※もっと格好良い解法があるかもしれませんが、最初に思いついたのはこの方法です。

ここから先は、どうしてこの手順で考えたのかを考えると、
まずは求める条件に合致する必要十分条件を考えたのだろうと思います。
このあたりで必要なのは数学の命題とかと算数や数学の「整数の性質」などという分野の知識になるのではと思います。
数学は決して単元ごとにばらばらではなくいろんな分野を組み合わせて解く問題も少なくありません。
したがって、算数も含めて苦手な分野があると他の分野の問題を解くことも困難になりうるということです。

またもう少しきちんとした解答にするためには、
なぜ３つの和が３の倍数になるということが、この４通り（A～D）の組み合わせになるのかをきちんと示す必要があります。

sc348253 · Answer

文系理系を分けるのは日本独自の考え方らしいですね。
　私自身　文系・理系と人を分けるのは好きではありませんが　わかりやすいのではと　示しているだけです　要するに　考え方の違いであって
テストの点数うんぬんではないです　世の中に出た時に　特に今の時代には
「理系」の頭が必要と思います！

1から10を3で割った余りを出してグループに分けるのは自然な考えと思います！これに思い至る足がかりとなったことを教えていただければと思います
　　確かに　過去の知識や経験が必要というのは同感ですが　自然と書いたのは　理屈で導きだしたのではなく　直観・霊感・ひらめき・センス　で
思いつくのであって説明は難しいです　敢えて言えば　過去の勉強・試行錯誤によって段々と効率よくなっていくのです　いろんな発明や難問の解法など　理屈では説明できませんね　ですから
　　もっと言えば、効率的な勉強方法というものがそこにはあるのかも気になっています。
　　という発想は　「文系」の発想であって「理系」の発想ではなく　
書きましたように　いろいろと遠回りでもいい結果に到着する過程が楽しいのです　だから　効率は考えません　効率や無駄を省くとかは考えないでいろいろと考えて出てきた結果を検討して後から効率を考えるので　最初から
効率的な方法があるわけではないし　その期待もしません　いろんな発想を考えながらbest に到着する過程が楽しいのです　私の場合は高校時　生徒が授業中暴れて先生の声が聞こえず家で独学したので楽しめたと思います！
私の場合　全ての教科が暗記ができなかったので理解・ひらめきセンスで
問題を解くのであって　テストの時間内にひらめくまで　数学ならじっとながめているだけ　英語・現代国語なら本文を何度も読んでいたら　ある時急に内容や筆者の言われていること・考えられていることがわかるときがあるので　それがわかるまでは回答ができない状態でした　このような経験がなければいくら言ったり説明してもわからないと思いますね！
きっと　数学なら基礎がついた段階で色んな解き方のできる良問を解いたからと思いますが！　例えば
https://oshiete.goo.ne.jp/qa/13874213.html
のような問題をNo1さんは正弦定理(私はこんな発想はできませんでした！)
てしたが　他に　初等幾何学の補助線・円周角と三角比(または　相似比)　座標　ベクトルの内積　と考えられる解法を考えます　どうして思いつくかって過去の経験から頭に自然に・勝手に思いつくのです！

tknakamuri · Answer

>過去に余りを利用して大量の数学問題を解いてこられたのでしょうか？

大量ではないですが遭遇率は低くはないですね。
ひとつの定番と言えると思います。
理系の大学受験では知ってて当たり前のレベルでしょう。

>数学(最近は縁が無い)では余り使った記憶がないです。

それは単純に数学の年期が足りないと思います。

amerikaumare · Answer

問題の解法の着想について
問題の核心と一般的な解法
ご指摘の通り、この問題は「3で割った余り」に着目することで、効率的に解くことができます。これは、3の倍数の性質（各位の数字の和が3の倍数になる）を利用した、非常に巧妙な解法と言えるでしょう。

なぜ「3で割った余り」に着目するのか？
この着想に至るには、いくつかの思考のステップが考えられます。

１．問題の単純化:
・まず、問題をより単純なケースに置き換えて考えてみましょう。例えば、1から3までの数字のカードの場合、どのような組み合わせが3の倍数になるか？
・このような小さなケースからパターンを見つけ出し、それがより大きな数に拡張できるか検討します。

２．3の倍数の性質:
・3の倍数の性質を思い出します。各位の数字の和が3の倍数になるという性質は、小学校で習う基本的な知識です。
・この性質が、今回の問題の解法に直結することを結びつけることが重要です。

３．余りの概念:
・3で割った余りは、数を3つのグループに分けるための有効な手段です。
・それぞれのグループの数を組み合わせることで、3の倍数となるパターンを効率的に数え上げることができます。

類似問題との関連性
この問題と似たような問題は、様々な教材や入試問題で見かけることがあります。例えば、
・3桁の自然数で、各位の数字の和が3の倍数になるものの個数を求める問題
・サイコロを3回振って、出た目の和が3の倍数になる確率を求める問題
などです。
これらの問題を解く経験があれば、今回の問題を見たときに「3で割った余り」に着目するという発想が自然と浮かんでくるかもしれません。

解法の着想に至るプロセス
１．問題文をじっくり読み込み、何が問われているのかを正確に把握する。
２．問題の条件を一つずつ丁寧に分析し、どのような性質があるか考える。
３．既習の知識や解いたことのある問題と照らし合わせ、ヒントを得る。
４．具体的な数値を代入したり、簡単な場合から考えてみたりするなど、試行錯誤を繰り返す。
５．閃きやひらめきを大切にし、新しい視点から問題を見つめる。

まとめ
この問題の解法は、一見複雑に見えますが、実は3の倍数の性質というシンプルな概念に基づいています。この問題を通して、数学的な思考力や問題解決能力を養うことができるでしょう。

重要なのは、
・問題の本質を見抜く力
・既習の知識を応用する力
・柔軟な発想力 です。
これらの力を養うためには、様々な問題を解き、思考のプロセスを意識することが大切です。

もし、
・特定の解法に固執してしまい、なかなか良いアイデアが浮かばない
・似たような問題を解いたことがあるはずなのに、なかなか結びつかない
・そもそも確率の問題が苦手
といった場合は、一度立ち止まって、問題の全体像を把握し直したり、より基本的な問題から復習したりすることが有効かもしれません。

という回答を　GoogleGeminiからもらいました。AIに教えてもらえるなんて、よかったね。

sc348253 · Answer

きっと　貴方は頭が文系なのでしょうか？
理系は暗記ではなく　思考力・センスで問題を解くからです
確かに　数学は基礎力がついた段階で応用問題に取り組むわけですが
問題を理解するまでは同じですが　その後が異なります　つまり
暗記ではなく　理解しようとします　そして　それを他にも応用します
　例えば　文系は微分などは将来使うことはないので勉強することは無意味
と思うかもしれませんが　理系は兎に角やってみてできるようになってから
勉強の意味などを考え　他のことに応用します　だから　時々　どの教科(スポーツも含めて)もできる人がいると思いますが　天性の暗記力の持ち主は別として　応用力がある人で　なんでも関連づけたりしてセンスをみがくのではないかと思います　事実　私も学生時代　暗記力が全くなかったので
理解して　たとえ　忘れても　公式を基礎概念から導きだしたりしたので
公式等を忘れても不安はなかったし　パターン解き方を忘れても他の解法を考えたりしたので心配しませんでした　また　教科書を捨てても　子供の受験で少し子供の教科書を勉強しただけで大学1年くらいまで思いだし　ここで
回答しています　文系は数学を暗記と考えパターンを覚えようとしますが
理系はそこに留まらず　自分が満足するまで徹底的に解法を何種類も考えこくしますし　世の中に出て仕事についても過去の勉強等の経験を応用します
　これが思いつくベースと思いますし　この考えは理系なら自然な考えと思いますし　試行錯誤することが楽しいのです！
　 mod 3=mod 3+mod 3+mod3 
　　　　=mod 3+mod 1+mod 2
なので　1から10を3で割った余りを出してグループに分けるのは
自然な考えと思います！　怒られるのを承知で
　文系は後から　もっと勉強すれば良かったと言うが
　理系は後でも　勉強して良かったと思うし　自分も思っています！
N04さんのように　プログラミングなら　ある作業で1つのプログラミング
が出来たら満足しますが　理系はもっと簡潔で早く動くプログラミング
がないかとかを考えます！
　全て3の倍数は　3C3/10C3=3*2/  10*9*8=1/120
　(mod 3 ,mod 1, mod 2); 3C1*4C1*3C1/10C3=3*4*3/  10*9*8
=1/20    ∴　１/１２０＋1/20=7/120
少し大変になると思いますが　順列でも解けるので考えては？

kamiyasiro · Answer

No.1様に１票。

私は、これを調べるプログラムを書くんだったら、どういうロジックになるか、という考え方をします。

ロジックを考えるときは、No.1様同様、拡張性を考慮します。例えば、1～12の数字だったら、のように問題が変わったケースにも対応できるようするためです。

これは、No.1様のように「一般化して考える」という方法だと思います。

～～～～～～～～～～～～～～～～～～～～～～～～～～

現在、小学生のうちからプログラムを教えるような学習指導要領になっています。特定のプログラム言語を教えるのではなく、レゴブロックのようなソフトを使っています。

これは、私のように「一般化してロジックを考える」力を養うことが目的だと思います。

公文の算数のように、パターン化して覚えるのではなく、新しい「探求的学び」を文科省が強化しているのです。

～～～～～～～～～～～～～～～～～～～～～～～～～～

閑話休題、
何を言いたいかというと、「事前にやったよく似た問題の解法」をパターンで覚えてしまうのは、No.2様が否定しておられる「暗記」です。公文と同じです。

ぜひ、「一般化してみる」「層別してみる」「可視化してみる」などを取り入れて「探求的」に問題解決する方法を身に着けて下さい。

yhr2 · Answer

「正しい解き方はひとつ」などと思ってはいませんか？
「解き方」については十中八九「いろいろな」やり方があり得ます。

「解き方」は、「最も効率的で短時間でできる方法」である必要はないので、多少時間がかかって回り道をしても、「正解に至る」方法であればそれでよいのです。
お示しのもの代は高々「10枚」のカードですから、いざとなったら「全部数え上げる」やり方でも答は出ます。
（「3枚のカードの和」の最大値が 10 + 9 + 8 = 27、最小値が 1 + 2 + 3 = 6 ですから、この範囲で探せばよい）

ただし、「思い付き」で答を見つけても、「答はこの１つであって他にはない」ことを証明したことにはなりません。
「見落とし」や「漏れ」はないか（網羅性）、二重に数えていないか（ダブり、重複）などの可能性も残ります。(お示しの問題の場合には、たとえば「1 + 2 + 7 = 10、2 + 3 + 5 = 10」など、異なった数字の和が同じ値になることがある）
そういったいろいろな条件を満足するには、「どんな場合でもこうなる」といった「全体を網羅した」やり方、「汎用性のある一般論」「条件と結果が常に必要十分である推論」で考えて行くことが必要です。
お示しの問題で「余りをグループ分けする」のはこういった「すべてを網羅する」やり方の一つです。
（ただし「このやり方しかあり得ない」というものではありません）

そのように、その時々に応じて、「何をすればよいか、何をしなければならないか」を考えて「戦略、作戦」を立てる必要があります。
そのためには、まず「どんなやり方の選択肢があるか」を考え付かないといけません。
そのときに「こうやっておけばおおむね間違いない」という一種の「定石」「よくやる手」といったものが存在することが多いです。（その究極が「公式」）
それは、ある意味で「経験、失敗、場数」を踏んで身につけて行く必要があるのかもしれません。「知識」ではなく「知恵、賢さ（ある意味で「ズル賢さ」も含む）」の領域かも。（公式をいくら「暗記」しても、どんな場合にそれが使えるかを判断できる知恵がなければ意味がない）

人生での問題解決も同じです。
人との約束があるが、事故で電車動いていない。さあどうする。
・他の交通手段を探して、出来るだけ急いでいく。「遅れる」と連絡を入れるが、「先に行って」というか「着くまで待ってて」というかは状況による。
・家に電話して、親に「車を出せないか」頼んでみる。
・時間に間に合わないと判断して行くのをあきらめる。「行けなくなった」と連絡を入れるが、謝罪の言葉や今日行けなくなった代わりをどうするかも考えないといけない。
などをとっさに判断しなければなりません。
無理してでも行くか、あきらめるかは、相手との関係や目的にもよるでしょう。
しかし、まずは「どんな選択肢があるか」を自分で考えますよね。
その中から「最良」と思われるものを選ぶ。

数学の問題の解き方を探すのも同じようなことです。
「どんなやり方の選択肢があるか」を自分で考えるのです。
（いろいろな選択肢を考えられる人は「抽斗（机やタンスの引き出し）が多い」といって「知恵者」「経験豊富な人」とみなされます）
いろいろなものごとを決めるのに、自分では決められず、「みんなはどうする？」とか「他人の意見」ばかりを聞いていると、こういう能力が磨かれません。
「苦しくとも自分で判断する」という心がけと勇気が大事です。数学でも、それ以外のテストでも、人生でも。

tknakamuri · Answer

思いつくというより、考える戦術として「知っている」
ということですね。

和が３の倍数ということを調べる際、個々の数の具体的な値よりも
3で割った余りで考えた方が楽そう
というのは、日頃にたような問題をたくさんやっていれば
すぐに出てくる発想だと思います。

何も経験がなくてもひらめきで解法を思いつくことが皆無とは
言いませんが、実際は問題を読んで今までの経験から
候補に浮かんできた戦術を組み合わせて解くのが大部分だと思います。
そういう意味では記憶力の勝負ですね。

ここで誤解しないで欲しいのは、「暗記」とは少し違うこと。
問題の内容を理解して、それに適用できそうな解法を思い出す
ということは、公式等の字面の暗記だけではできません。
解法を十分理解して使い方や適用範囲を習熟しなければ
問題に結びつけることができず使えません。

問題をある解法で解けたとき、何故それで解けるのか
良く反芻して、自分の武器に加えることが大事です。

ありものがたり · Answer

今回は「1から10までの数字が1つずつ書かれた」ｶｰﾄﾞがたった10枚だけど、
これを一般化して、1からｎまでの数字が1つずつ書かれたｎ枚のｶｰﾄﾞだったら
どうなるか？を考えると、ｎ枚のｶｰﾄﾞを「3枚のｶｰﾄﾞに書かれた数字の和が
3の倍数」かどうかについて同じ影響を与えるグループに分類して考えないと
扱いきれない と感じると思う。その、同じ影響を与えるグループというのが、
ｶｰﾄﾞに書かれた数を３で割った余りが同じ値になるグループだというわけ。

以下数学の問題があります。解法はではなくどのようにして解法を思いつくに至ったかの経緯を教えて下さい。

まずは、３つの自然数の和が３の倍数になるということは、

文系理系を分けるのは日本独自の考え方らしいですね。

>過去に余りを利用して大量の数学問題を解いてこられたのでしょうか？

問題の解法の着想について

きっと 貴方は頭が文系なのでしょうか？

No.1様に１票。

「正しい解き方はひとつ」などと思ってはいませんか？

思いつくというより、考える戦術として「知っている」

今回は「1から10までの数字が1つずつ書かれた」ｶｰﾄﾞがたった10枚だけど、

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