出題ミスだね？

https://imgur.com/a/T5plJ54

楕円については、方程式より焦点が(s, 0) と(-s, 0)
になるのは形からわかる。また内側にあるのも少し考えればわかる。
x = 0 を考えて焦点からの距離の和というのが2aというのがわかり
y = 0をかんがえて初等的に焦点の座標がもとまる
でも双曲線については、
焦点の座標を先に仮定するか
焦点のからの距離の差を先に仮定するかのどちらかをしないと
ここから問題のことを示すのは実はできません。
（焦点の座標との距離を計算して一定になるのをしめすのじゃだめなことに注意）

？

No.14 ベストアンサー 回答者： mtrajcp 回答日時： 2024/08/03 05:10

楕円円周上の点が

原点周りに対称でないかどうか
であることと

焦点の座標
(+-s, 0 )の形になるかどうか
ということが

どのように関係しているのか
具体的に証明しない限り
証明したことにはならないのです

この回答へのお礼

はーい。

お礼日時：2024/08/04 11:23

No.15 回答者： sorewasennsei 回答日時： 2024/08/04 11:04

円錐曲線とみた楕円と双曲線（それと放物線）を区別することはないと思うけど

この回答へのお礼

お礼日時：2024/08/04 11:23

No.13 回答者： mtrajcp 回答日時： 2024/08/02 21:33

楕円について

(+-s, 0 )の形になることが
方程式と焦点からの距離の和がひとしいだけわかるのか
具体的に証明しない限り
わかったとはいえないのです
なぜ
いびつや原点から非対称な形にならない、
横長の楕円になるか
を
具体的に証明しない限り
証明したことにはならないのです

この回答へのお礼

なるほど。いいたいことがわかりました。
方程式を見てすこし考えればわかるけど、定量的にはいうのは難しいか。
でも、たとえばx^2+y^2=1とみて
まるいくて、原点周りに対象であるといえないといってますか？

お礼日時：2024/08/02 22:05

No.12 回答者： mtrajcp 回答日時： 2024/08/02 21:22

x^2/a^2+y^2/b^2=1

c^2=a^2-b^2
b^2=a^2-c^2

x^2b^2+y^2a^2=a^2b^2
x^2(a^2-c^2)+y^2a^2=a^2(a^2-c^2)
a^2x^2-c^2x^2+a^2y^2=a^4-a^2c^2
a^2x^2+a^2y^2+a^2c^2=a^4+c^2x^2
a^2(x^2+y^2+c^2)=(cx+a^2)^2-2cxa^2
a^2(x^2+y^2+c^2+2cx)a^2=(cx+a^2)^2
a^2{(x+c)^2+y^2}=(cx+a^2)^2
a√{(x+c)^2+y^2}=cx+a^2
4a√{(x+c)^2+y^2}=4cx+4a^2
0=4a^2-4a√{(x+c)^2+y^2}+4cx
(x+c)^2+y^2=(2a-√{(x+c)^2+y^2})^2+4cx
x^2-2cx+c^2+y^2=(2a-√{(x+c)^2+y^2})^2

√{(x-c)^2+y^2}=2a-√{(x+c)^2+y^2}

√{(x-c)^2+y^2}+√{(x+c)^2+y^2}=2a

だから
楕円
x^2/a^2+y^2/b^2=1
の焦点の座標が

(±√(a^2-b^2),0)

となるのです
焦点の座標を先に(s,0)と(-s,0)と仮定してはいけません

この回答へのお礼

してません。
楕円については(+-s, 0 )の形になることが
方程式と焦点からの距離の和がひとしいだけわかります。
いびつや原点から非対称な形にならない、横長の楕円になるから。
ぎゃくに、何がわからないの？？

https://imgur.com/a/a1djMI8

お礼日時：2024/08/02 21:26

No.11 回答者： mtrajcp 回答日時： 2024/08/02 20:15

a > bだから=1になるためにxのほうがおおきくなきゃいけない

からといって

楕円の焦点が
長軸上にある
と
はわかりません

この回答へのお礼

じゃあ、反例をしてみてください

お礼日時：2024/08/02 20:18

No.10 回答者： mtrajcp 回答日時： 2024/08/02 19:02

a>bよりわかりません

焦点の座標を先に(s,0)と(-s,0)と仮定しているからわかるのです

この回答へのお礼

わかります。a > bだから=1になるためにxのほうがおおきくなきゃいけない

お礼日時：2024/08/02 19:55

No.9 回答者： tknakamuri 回答日時： 2024/08/02 13:27

>でも、その無機の説明は証明になってますか？

逆変形(定義→方程式)も出来るので、同値を示せますよ。

>問題文に書いてあるからそう書いたの

定理の証明とはそういうものですよね。
予想される形に向かって工夫しながら推論を進めて行くだけ。
ぴったり合ったらめでたしめでたし。
それが数学の証明ということでは?

未だに何を嫌がっているのかまるで理解出来ません。

この回答へのお礼

はい。ごめんなさい。テストなら点数がもらえらばいいね。

お礼日時：2024/08/02 14:53

No.8 回答者： tknakamuri 回答日時： 2024/08/02 11:38

そこいらじゅうで解説されていますが、見る気ないみたいなので・・・

x^2/a^2 - y^2/b^2 = 1
で c^2 = a^2 + b^2(c > 0、当然 c > a) と置いておきます。
これでもちろん一般性が崩れることはありません。

これは
(c^2-a^2)x^2 - a^2・y^2=a^2(c^2-a^2)
→ c^2・x^2 + 2ca^2・x + a^4 = a^2・x^2 + 2ca^2・x + a^2・c^2 + a^2・y^2
→ (cx + a^2)^2 = a^2{(x+c)^2 + y^2}
と変形できます。
両辺の平方根を取ると
(cx + a^2) = ±a√((x+c)^2 + y^2)
→ (x-c)^2 + y^2 = (x+c)^2 + y^2 + 4a^2 ±4a√((x+c)^2 + y^2})
→ (x-c)^2 + y^2 = (√((x+c)^2 + y^2) ±2a)^2
双曲線の定義式にたどり着きました。多少技巧的ですが完全に演繹的です。
#c は焦点位置

この回答へのお礼

たしかに、そうだか。
でも、その無機の説明は証明になってますか？
演繹的といっているけど、問題文に書いてあるからそう書いたのは数学として大人げないと思います

お礼日時：2024/08/02 12:31

No.7 回答者： mtrajcp 回答日時： 2024/08/02 04:06

楕円の場合

焦点の座標を先に(s,0)と(-s,0)と仮定しているから
焦点からの距離の和が2aとなるのがわかるのです

焦点の座標を(0,s)と(0,-s)と仮定すれば
焦点からの距離の和は2bとなってしまうのです

焦点の座標を先に(s,0)と(-s,0)と仮定しなければ
焦点からの距離の和が2aとなるのはわからないのです

この回答へのお礼

a>bよりわかるよね？
もうちょと考えてからコメントしてください。

お礼日時：2024/08/02 10:25

No.6 回答者： mtrajcp 回答日時： 2024/08/01 20:50

楕円も双曲線もどちらも

x軸対称
y軸対称
で同じです

楕円だけ
形からわかるといってごまかすのはやめましょう

この回答へのお礼

形じゃなくて、和だからだよ？
和なら
(a,0)について
f1x + f2x = 2aとわかるけど
差だとわからないから

お礼日時：2024/08/01 21:18