(2)で、a＞0だからと書くのはなぜでしょうか？ 真数条件が絡んでるのかなと思うのですが、詳しく説明

(2)で、a＞0だからと書くのはなぜでしょうか？
真数条件が絡んでるのかなと思うのですが、詳しく説明お願いします！

No.3 回答者： ありものがたり 回答日時： 2024/10/13 15:26

(1) で既に、 (a^a)(e^-a) が定義できるためには a > 0 であることが必要

だったのだけれど、解答はそこには触れてないね。

(2) では、写真の部分の後 log M = log ((a^a)(e^-a)) の両辺を微分して
dM/da を求め、 a の関数 M の増減表を書いて最小値を求めたはず。
関数の最小値を求めるには、定義域を確認することは必要だよね？
それをしないと増減表も書けないし。
真数条件云々よりも、数学として大切なのはソコだと思う。

写真の解答例では、 dM/da を求めるのに対数微分法を使っているから、
a > 0 より M = (a^a)(e^-a) > 0 だから log M と log( (a^a)(e^-a) ) が定義できること、
a > 0 より log a が定義できるから log( (a^a)(e^a) ) = a log a - a が成り立つこと
の 2点で a > 0 を利用している。
だから、真数条件だって言えば真数条件なんだけれど...

dM/da を計算するには、対数微分を使わなくても、
dM/da = { d(a^a)/da }(e^a) + (a^a){ d(e^-a)/da }
の d(a^a)/da の部分に合成関数の微分を使って
d(x^y)/da = { ∂(x^y)/∂x }(dx/da) + { ∂(x^y)/∂y }(dy/da)
　　　　= { y x^(y-1) }(dx/da) + { (x^y)(log x) }(dy/da)
から
d(a^a)/da = { a a^(a-1) } 1 + { (a^a)(log a) } 1
　　　　= a^a + (a^a)(log a)
としたって求めることはできるから、対数を使う→真数条件 が
この問題にとって大切なことってわけでもない。

No.2 回答者： Tacosan 回答日時： 2024/10/13 13:49

真数がどうとかいう以前に, そもそも a≦0 だと困ることに気付いてる?

No.1 回答者： yhr2 回答日時： 2024/10/13 13:24

対数の真数条件だからです。