球の体積の変化

半径ｒの球（中身が大気圧Ｐと同じ圧力の空気が入ったボールのようなもの）が、
大気中に存在する。
大気圧が、Ｐ＋sinωt (>0)　で変化する。
球の表面が質量を持たなければ、
ＰＶ＝nRT
とか考えて、球の体積V(t)　を計算できると思います。（温度変化は省略）
球の表面が質量を持っていて、
外圧が変化しても、すぐには動かないで、Ｆ＝ｍa
のように加速度が生じて、少し時間がかかって体積が変化する。
こんな条件でのV(t)の求め方を教えて下さい。

No.3 ベストアンサー 回答者： yhr2 回答日時： 2025/01/01 19:28

No.1 です。

＞「ゴムボール」の弾力による時間遅れをきちんと力学的な運動方程式にして記述が必要なようです。
＞参考になる文献を教えていただければ、探して読んでみます。

「ゴムボール」は「３次元」なのでちょっと複雑なので、まずは「ばね振動」という１次元で考えてみてはいかがでしょうか。

「大気圧が変動する」のは、「ばね振動」の「固定点を振動させる」という「強制振動」に相当します。
これは、下記の通りかなり複雑です。
↓
強制振動の説明の例
https://www.eee.kagoshima-u.ac.jp/~watanabe-lab/ …

そのような振動を考える前に、まずは
・大気圧は一定
・ゴムボールをいったん外力で「収縮」させ、その状態から「外力」をなくして単振動させる
ことを考えてみてはいかがでしょうか。
これは
・一端を固定したバネを、外力を加えて縮める
・その状態から外力を取り払って単振動させる
という１次元の現象を、「ゴムボール」という３次元の事象に拡張することに相当します。
その「１次元」の現象は、下記のような説明になります。
↓
https://w3e.kanazawa-it.ac.jp/math/physics/categ …

この回答へのお礼

ありがとうございます。

強制振動の件は、以前読んだことがあるので
大丈夫です。

最新
耐震構造解析
柴田明徳

で読みました。

お礼日時：2025/01/01 22:56

No.2 回答者： himagene 回答日時： 2025/01/01 15:15

これで分かりませんか。

http://www.jissen.or.jp/mecha/journal/netsuriki/ …
＞外圧が変化しても、すぐには動かないで
普通は壁の動きは音速に比べて極めて遅いのでほぼ平衡状態を保ちながら動いていると考えても差し支えないのですが、壁の質量を組み込みたければ運動方程式に入れるだけです。他の項の大きさに比べたら無視できる程度、つまり時間遅れは無視できる程度だと思います。現実的な材料の数値を使って確かめてみてください。
半径方向の力は風船の張力から発生する力＋風船膜の内外の圧力差です。音速近くなると圧力波の伝播も考えなければならないのでフルセットの流体方程式を使わなくてはなりません。

この回答へのお礼

ありがとうございます。

考えているのは、

音圧が同じでも、
ωが大きい（10００＊2π）時は、
加速度は同じでも、圧縮が完了する前に、膨張の状態に移るので
結果としては、体積はあまり変化しない。

ωが小さい（0.5＊２π）ときは、
加速度が同じならば、圧縮される時間が長いのでかなり圧縮される、
更に、ゆっくりと膨張する。
よって、体積はかなり変化する。
と言うようなことです。

球の大きさは、直径50ｃｍ程度で考えています。

教えていただいたＵＲＬは、ゆっくり読んでみます。

お礼日時：2025/01/01 16:54

No.1 回答者： yhr2 回答日時： 2025/01/01 00:31

＞大気圧が、Ｐ＋sinωt (>0)　で変化する。

大気圧を一定の定数とすれば、この式は
　P = P0 + Asin(ωt)
ということになります。

球の方の P が上記で変化するとすれば
　PV = nRT
→　[P0 + Asin(ωt)]V = nRT
→　V(t) = nRT/[P0 + Asin(ωt)]

＞外圧が変化しても、すぐには動かないで

いいえ。
そもそも「熱力学」では「平衡状態、およびその間の移行」しか取り扱いません。
「PV = nRT」という式自体も「平衡状態、およびその間の準静的変化」でしか成立しません。

ということで、この式が成立することを仮定できるのは、
「球の内部の圧力が、常に周囲の外気圧とつり合い状態を維持している」
という条件下です。

もし「時間遅れ」をきちんと計算したのであれば、熱力学の「PV = nRT」ではなく、たとえば「ゴムボール」の弾力による時間遅れをきちんと力学的な運動方程式にして記述しないといけません。

この回答へのお礼

ありがとうございます。
「ゴムボール」の弾力による時間遅れをきちんと力学的な運動方程式にして記述
が必要なようです。
参考になる文献を教えていただければ、
探して読んでみます。
よろしくお願いします。

お礼日時：2025/01/01 06:51