円錐振り子の公式

初めて投稿します。よろしくお願いします。

糸の長さ　L〔m〕
傾角　θ〔度〕
重力加速度　ｇ〔m/s~2〕
円運動の角速度　ω〔ラジアン/s〕
周期　T〔s〕

の時、
ω^2=g/Lcosθ
T=2π√Lcosθ/g
で質点の質量に関係が無いという説明を
よく見ます。
以前から、不思議に思っていたのですが、
これだと、0≦cosθ≦1ですからg/L≦ω^2になってしまい、θ=0の時で回転半径が0の時でも、g/Lの角速度を持つことになってしまいます。

矛盾してる様に感じますが、力の釣り合いから計算するとやはりこの式になってしまいます。
この式は正しいのでしょうか。？

No.4 ベストアンサー 回答者： noname#11920 回答日時： 2005/07/17 00:26

質問の意味がわかりました。

3次元空間の中で、天井から吊るされた質点が等速円運動している場合ですね。
でしたら、#3は間違えました。
糸の張力をTとすると、質点系での力の釣合から、
TsinΘ=mL(sinΘ)ω^2
TcosΘ=mg
で、これから
ω^2=g/(LcosΘ)
となります。

元の式を見ていただければわかると思いますが、
Θ=0のとき最初の式は
0=0
となって、何の意味も持ちません。
従って、T=mgが釣合の式になります。
つまり手でぶら下げたときに感じる力です。

ですから、ご質問の式は条件としてΘ>0が暗黙のうちに仮定されているのです。
因みに、ご質問の式のΘ=0は、イメージとしては自転ですね。
ただ、これは普通の意味での自転ではありません。
と言うのは、この式を導く時に、
物体が質点(大きさを持たない物体)を暗黙的に仮定しています。
仮りにこれを実験で再現しようとすると、
現実の物体は大きさを持つので、
何処かで上に挙げた運動方程式を破ることになり、
どうやってもΘ=0でωが有限の値をとるような状態は実現できません。

この回答への補足

あっ分かりました。
θが小さくなると、大きさの有る物体では、回転の中心が物体の内部に入ってくるので、全く違う式を立てなくてはいけないのですね。
全く、ご指摘の通りです。
ありがとうございました。

補足日時：2005/07/17 01:17

この回答へのお礼

再度、回答ありがとうございます。

> どうやってもΘ=0でωが有限の値をとるような状態は実現できません。

私もそう思います。
所が、この式では
ω＾２＝Lim（θ→０）（g tanθ） ／(L sinθ)＝ g / L
となって、有限の値をとります。
θ＝０が特異点であったとしても、
g / L≦ω^2 で ω は、０からスタートできない事を示してると思います。
質点では無く物体ではこのような事は起こらない事を、具体的にどの様に説明すれば良いのでしょうか。？

お礼日時：2005/07/17 00:56

No.3 回答者： noname#11920 回答日時： 2005/07/16 22:58

私の計算では、ご質問の式が出てきません。

まず、運動方程式は
d^2Θ/dt^2 = -(g/L)sinΘ
です。
これを解析的に解くことは出来ず、通常は
sinΘ=Θ
で近似します。
すると、一般解は
Θ=Asin(ωt+δ), ω=(g/L)^(1/2)
で、初期条件がt=0でΘ=0なら、δ=0で、
Θ=Asin(ωt)です。
Aは振動の一番端の角度で決めます。

運動方程式は、ラグランジアンLが
L=(1/2)mL^2(dΘ/dt)^2-mgcosΘ
より、Euler-Lagrange方程式が
0=d(DL/D(dΘ/dt))/dt - DL/DΘ
よりでます。
ただしDは偏微分を表します(偏微分記号が出なかったので)。

この回答へのお礼

回答ありがとうございます。

どうやら質問の仕方が悪かったようです。
お手数をお掛けして申し訳ありません。

円錐振り子では、ωを０から徐々に大きくすることは出来ず、突然ω=(g/L)^(1/2)から始まる。
と言うことなのでしょうか。？

お礼日時：2005/07/17 00:29

No.2 回答者： shkwta 回答日時： 2005/07/16 22:57

No.1の補足への回答です。

＞０に限りなく近い時は、両辺をsinθで割る事が出来ます。
それで正しいです。何も矛盾はありません。θ=0でない限り、円運動しているならω^2 = g / (L cosθ)が成立します。「0」と「0に限りなく近い」は異なります。

θ=0のときω^2 = g / Lという式に物理的意味があるか、ということなら、無いと思います（揺れていない振り子の周期はいくらか、と問うのと同じです）。
「θが小さいとき、ω^2 = g / Lと近似できる」という言い方であれば正しいです。

なお、実験としては、θが非常に小さい場合は質点の運動が誤差・ノイズに埋もれてωの測定が不可能になると思います。

蛇足ですが、円運動でなく振幅の小さな振り子とし、θ=A sin(ω t) と振動を近似的に表示するならω^2 = g / Lが成立します。

この回答へのお礼

回答ありがとうございます。
補足は、あくまで補足です。
疑問を逆に言い直すと本当にω^ 2 ≦g / Lの円錐振り子は存在しないのか。？
円錐振り子では、ωを０から徐々に大きくすることは、本当に出来ないのか。？
と言うことなのです。

お礼日時：2005/07/17 00:18

No.1 回答者： shkwta 回答日時： 2005/07/16 22:02

0で割ってはいけません。

たとえば、
ab = ac ⇒ b = c
この矢印は、a = 0 のときには成り立たないことに注意します。
(例）0×2 = 0×3 ⇒ 2 = 3 ?

ご質問の場合でいうと、
水平方向の力のつりあいは、

m (L sinθ) ω^2 = m g tanθ

この式の両辺をm (L sinθ)で割ったのが

ω^2 = g / (L cosθ)

ですが、sinθ= 0 のときには両辺を 0 で割ったことになるので成立しません。

この回答への補足

すみません、不慣れなもので、補足をお礼に書いてしまいました。

確かに、θ=0の時は成立しませんが、０に限りなく近い時は、両辺をsinθで割る事が出来ます。

Lim(θ→0)の時　　ω^2 = g / L
となってしまいます。

補足日時：2005/07/16 22:18

この回答へのお礼

早速の返事ありがとうございました。

お礼日時：2005/07/17 00:06