漸近線の求め方

初歩的な質問かもしれませんが、漸近線の導き出し方
がわかりません。たとえば、
y=x^2/(x-2)　の概形をかけ。
という問題で、増減表で凹凸を調べ、与式が
y=x+2+4/(x-2)と変形されるところまでは理解できたのですが、
その後極限limなどを用いて漸近線を導き出すほうほうが
さっぱりわかりません。
どなたか教えてください！

あと、一般的な漸近線の求め方や定義なども一緒に教えて
いただけると助かります！

No.6 ベストアンサー 回答者： gage 回答日時： 2005/09/03 06:25

漸近線の一般的な求め方は次の通りです。

(1) x軸に垂直な漸近線の場合
lim f(x) (x→a＋0の時)、lim f(x) (x→a－0の時)の内、少なくとも1つが＋∞または－∞になれば、直線x＝aが漸近線である。
(2) x軸に垂直でない漸近線の場合
lim |f(x)－(ax＋b)|=0 (x→＋∞の時)ならば、直線y＝ax＋bが漸近線。lim|f(x)－(ax＋b)|＝0(x→－∞の時)についても同様である。

ここから与式について具体的に説明します。y＝x^2／(x－2)＝(x＋2)＋4／(x－2)と変形できるので、(1)について考えると、x→2の時、第1項の(x＋2)は有限の数4となり、第2項の分母は0に近づくので第2項自体(4／(x－2))は＋∞または－∞になります(それぞれxを右から2に近づけた場合と、左から2に近づけた場合)。よって、式全体(第1項と第2項を合わせたもの)は＋∞または－∞になります。よって、x＝2が漸近線であることが分かります。次に(2)について考えてみます。求める漸近線をy＝ax＋bと置きます(漸近線なので一次式で表してよい)。与式y＝x^2／(x－2)をf(x)と置き、先に示した(2)の求め方を考えてみると、f(x)－(ax＋b)＝x^2／(x－2)－(ax＋b)＝{x^2－(ax＋b)(x－2)}／(x－2)＝{(1－a)x^2＋(2a－b)x＋2b}／(x－2)と変形できるので、x→＋∞の時、|{(1－a)x^2＋(2a－b)x＋2b}／(x－2)|が0になるためには、1－a＝0、2a－b＝0が成立たなければなりません。この理由について説明します。絶対値の中の第1項と第2項を変形してみると、それぞれ(1－a)x^2／(x－2)＝(1－a)(x^2－4＋4)／(x－2)＝(1－a){(x＋2)(x－2)＋4}／(x－2)＝(1－a){x＋2＋4／(x－2)}-----(1)、(2a－b)x／(x－2)＝(2a－b)(x－2＋2)／(x－2)＝(2a－b){1＋2／(x－2)}-----(2)となるので、もし1－a＝0と2a－b＝0が成立たなければ、x→＋∞の時に(1)は＋∞または－∞(aの値に依存する)、(2)は2a－bという有限の何らかの値になります。このため、(2)の漸近線の条件を満たさなくなります。よって、y＝ax＋bが漸近線だと仮定すると、1－a＝0かつ2a－b＝0を満たさなければなりません。これを解くとa＝1、b＝2が得られるので、求める漸近線はy＝x＋2となることが分かります。x→－∞についても全く同様にして、a＝1、b＝2が求まります。結局、(1)と(2)より、与式の漸近線はx＝2(x軸に垂直な漸近線)、y＝x＋2(x軸に垂直でない漸近線でx＝＋∞、x＝－∞に対するもの)の2本となります。

この回答へのお礼

申し訳ないのですが、この欄でまとめてお礼を言いたいと思います。
皆様の意見はどれも細かいところまで記載されていて、
とてもわかりやすかったです！たすかりました！
教えてくれた方々みんなに感謝しています。
ありがとうございました！

お礼日時：2005/09/03 14:10

No.5 回答者： millreef 回答日時： 2005/09/02 19:21

漸近線はx=２、ｙ＝ｘ＋２ですね。

x=２のとき左辺の分母が０になります。
limはx→＋∞＝＋∞
　　　　－∞＝－∞
　　　　２＋０＝＋∞
　　　　２－０＝－∞
x＝２＋０　の意味はわかりますか？ｘが２よりもほんの少し多いということです。ｘ＝３から限りなく２に近づけた値ということです。２－０も同様です。
漸近線を求めるには
y=(k/x-p)+qの形を作ります。
この問題の場合
y=(4/x-2)+x+2　・・・(1)
です。この形に変形できますか？
x^2=(x-2)(x+2)+4
なので(1)の形になります。
漸近線はx=p , y=q　が漸近線となります。
従ってx=2 , y=x+2　のふたつです。

No.4 回答者： debut 回答日時： 2005/09/02 18:52

以下の説明で、F,f,g,h,pはそれぞれ、F(x)などの関数

であるとみて読み取ってください。

　分数関数 F=f/g があるとき、
　１．g=0 を満たす x の実数値 αがあるとき、
　　　x→αのとき ｜F｜→＋∞となるから直線 x=α
　　　が漸近線
　２．g の方が次数が高いときは、｜x｜→∞でF→0
　　　となるから、x軸が漸近線
　３．g の方が次数が低いときは、帯分数の形
　　　F=p+h/g の形に変形して、｜x｜→∞で Fの
　　　グラフは p のグラフに限りなく近づくから、
　　　p が１次式または定数のとき y=p が漸近線

　のようになります。
　１を考えて、次に２or３を考えるということです。

No.3 回答者： dollar 回答日時： 2005/09/02 18:44

x=tにおける接線の方程式を普通の方法で求めます。

その後tを無限大に飛ばせば漸近線になります。
漸近線とは無限遠で引いた接線のことだと覚えておけばいいと思います。
あと、場合によってはt→0やt→-無限大の場合もありますね。

No.2 回答者： at9_am 回答日時： 2005/09/02 18:43

簡単に書くと、

lim[x→∞]{4/(x-2)} = 0
なので、x+2 が漸近線です。

一般に、正の方向だけで言えば、
f(x) = g(x) + h(x)
lim[x→∞] g(x) ≠ 0
lim[x→∞] h(x) = 0
という関数を考えれば、f(x)はg(x)に漸近します。

No.1 回答者： whitePC 回答日時： 2005/09/02 18:42

ほとんどできていると思うのですが・・・

4/(x-2)の極限値が0なので、漸近線はy=x+2です。

参考URLに説明がありますが、とても分かりやすいです。

参考URL：http://phaos.hp.infoseek.co.jp/diff2/asymptote.htm

この回答へのお礼

ＵＲＬまで教えていただき、ありがとうございます！
とっても助かりました！

お礼日時：2005/09/03 14:06