関数のグラフでy'''はなにを意味するのですか？

Question

関数のグラフでy'は増減を、
y''は凹凸を意味しますが、
y'''はなにを意味するか強引にでも解釈したいです。

take008 · Accepted Answer

ｙ' は正ならば増加，負ならば減少だけでなく，絶対値が大きければ急勾配，小さければ緩勾配もわかります。
ｙ''は正ならば凹，負ならば凸がわかります。しかし，放物線 y=x^2 はいたる所で y''=2 ですが，頂点の近くと遠くでは，凹み具合が全く違います。
逆に，円は膨らみ具合はどこでも同じなのに，y'' の値は違います。
曲がり具合（曲率）は y'' だけでなく y' も関係して決まります（参考ＵＲＬ「曲線の曲がり具合」参照）。
ですから，グラフを見て y'' の値の大小を読み取るのは難しいでしょう。
y''' になると，正負の違い（y''の増加減少）すらグラフから読み取ることは難しいでしょう。

参考URL：http://www.ss.u-tokai.ac.jp/~ooya/Misc/Shiryou/index.shtml

siegmund · Answer

No.4 の siegmund です．

No.6 の take008 さんのご説明はなかなか説得力を感じました．
さすが，専門家です．

y=x^4 のグラフですと，y''' は x と共に増加します(x>0)．
そう思って y=x^4 のグラフを見れば確かにそう思えますが，
知らずに見て y'' (下に凸，上に凸の区別)の様に明確には判定できないと
思います．
結局，直接 y のグラフを見て簡単にはわからないでしょう．
もちろん，デジタイザなどで曲線を詳しく調べれば y''' はわかるでしょうが，
それは質問の意図ではないですよね．

No.4 の私の回答：
> 急に加速度がなくなると，つっかい棒をはずされたようなもので
> (あるいは相撲ではたき込まれた，など)，
> 体は前のめりになってしまいます．

ちょっと間違えたみたいです．
体が前のめりにならないように，後ろ向きに体の力が入っているんですね．
で，車が停まると急に加速度が無くなるから，一旦体がシートに押しつけられ，
その反動でもう一度前のめりになる，ですかね．
頭は質量が大きいから，これを派手にやると(衝突など)むち打ちに
なるということか．

No.7 の jbg さん：
> 「加加速度」略して「加っ君」
> いい命名でしょう。（笑）

な，なるほど(^^)．

takug · Answer

微分というのは変化率を取り出す操作ですので、グラフを視覚的に読み取ったときに



yを知るには: 位置が　(1) x軸より下ならy=負　　(2) x軸上ならy=0　　(3) x軸より上ならy=正


y'を知るには: 傾き(位置の変化率)が　(4) 右下がりならy'=負　　(5) 水平ならばy'=0　　(6) 右上がりならy'=正


y''を知るには: 傾きの変化率が　(7) 凸ならy''=負　　(8) 直線ならy''=0　　(9) 凹ならy''=正


となっていることを念頭におけば y, y', y'' の値の符号くらいは大体知ることができますね。


これらを見ると (6) というのは (1)→(3) の変化を簡単に表現したものであり、逆に (3)→(1) への変化を表現したものが (4) であると判ります。 ついでにy位置が一定なら (5) です。

同様に、(9) というのは (4)→(6) の変化を簡単に表現したもので、逆に (6)→(4) への変化を表現したものが (7) であると判ります。また、y'すなわち傾きが一定不変なら (8) です。


y''' については、適切な用語が私には不明なのですが、同様の関係を日本語で表現した、

y''' が正であるのは、(7)→(9)への変化、すなわち凸から凹へと移り変わる領域、 

y''' が負となるのは(9)→(7)への変化、すなわち凹から凸へと移り変わる領域、

y'''=0 となるのは 傾きの変化率 が一定のところ。

といったことに注意しながら観察すると、ある程度は推定可能でしょう。

jbg · Answer

＃３の者です。

＃４さんが言われる「加加速度」という言葉は、私は知りませんでした。
（若しくは、遠い過去に聞いたのを、私が忘れたのかも）


「加加速度」略して「加っ君」
いい命名でしょう。（笑）


さて、

＞＞＞
そして、y'''の値が正か負であるかを、視覚的に見分ける方法があれば教えていただきたいです。


なるほど。

私なりに、ちょっと考えてみました。

「ｙ’’’が正か負かを視覚的に見分ける」

これが出来るということは、

「正と負の境目を視覚的に見分けることができる」

つまり

「ｙ’’’＝０　となる場所を目で発見できる」

ということになります。

２次微分までを復習すると

ｙ＝０　→　グラフとｘ軸が交わるところ
ｙ’＝０　→　上りと下りの境目（極値）
ｙ’’＝０　→　凹凸の境目

果たして、これ以上の高次微分の情報を、グラフを目で見て読み取ることができるでしょうか？


－－－－－（以下は蛇足）


そして、一見、
「ｙ’’’は、凹凸の鋭さ（急峻さ）」
を表しているかのように思えます。
（私も第一感、そうだと思いました）


しかし、例えば、３つの解ｘ＝－１，０、＋１　を持つ三次方程式
（ｘ＋１）・ｘ・（ｘ－１）＝０

を関数にした

ｙ＝ｆ（ｘ）＝（ｘ＋１）・ｘ・（ｘ－１）＝ｘ^3－ｘ

ｙ’＝３ｘ^2 －１
ｙ’’＝６ｘ
ｙ’’’＝６

これを、
ｙ＝１億×ｆ（ｘ）
と比較しましょう。

ｙ＝１億・ｆ（ｘ）＝１億・（ｘ＋１）・ｘ・（ｘ－１）＝１億ｘ^3－１億ｘ

ｙ’＝１億３ｘ^2 －１億
ｙ’’＝６億ｘ
ｙ’’’＝６億

たしかにｙが１億倍になったことにより、ｙ’’’は１億倍になり、それによって例えば、極値を取る２つのｘ（＝±√(1/3)） において「凹凸の鋭さ」みたいなものも１億倍になっています。
しかし、それと一緒に傾き（１次微分）も２次微分も１億倍になっています。

これは結局、ｙ軸の目盛りの刻みを１億倍したり、１億分の１にしている徒労をしているにすぎません。


以上のことから、３次微分の正・負などをグラフを目で見て判定することは出来ない、という私なりの結論になりました。

Trick--o-- · Answer

> そして、y'''の値が正か負であるかを、視覚的に見分ける方法があれば教えていただきたいです。

X'-Y'座標にすれば凹凸
X''-Y''座標にすれば増減
X'''-Y'''座標にすれば位置
で＋－がわかると思うよ。

siegmund · Answer

関数のグラフで，
y'，y'' がゼロでない場合は，y'''の効果は
ちょっと見えにくいのではないかと思います．

jbg さんご指摘の「カックン」は「加加速度」あるいは「ジャーク(jerk)」
と呼ばれています．
重量挙げのジャークと同じ言葉です．
物理の運動方程式では，
F = ma (F:力，m:質量，a:加速度)
ですから，加速度が急に変化することはと，
力が急に変化することと同じです．
車でブレーキを掛けたときには負の加速度が働いていますから，
それに逆らうように同乗者の体には力が入っています．
急に加速度がなくなると，つっかい棒をはずされたようなもので
(あるいは相撲ではたき込まれた，など)，
体は前のめりになってしまいます．
したがって，jbg さんの言われるように，
加速度を徐々に変えることで同乗者は不快な思いをしないで済みます．
運転者は予想がついているから，「カックン」になっても同乗者ほど
不快な思いはしないですね．
そういえば，運転している本人が車に酔うという話は
聞いたことがないような気がします．
やっぱり，予測の効果でしょうかね．

何だか，雑談で失礼しました．

jbg · Answer

単に、関数のグラフで考えると、３次微分以降は、つまんないんですが、
私は、「意味のある」考え方、実用性のある考えかたが大事だと思います。


私が若かりし頃に気づいた、３次微分の良い例を紹介しましょう。



位置Ｘを時間で１回微分すれば、速度です。
Ｘ’＝ｖ

２回目の微分は、加速度です。
Ｘ’’＝ａ

以上のところまでは、高校・大学で習います。

さて、
３回目の微分は、加速度の時間変化です。
Ｘ’’’＝「カックン」



なぜ私は、時間で３回微分したものを
「カックン」
と呼ぶか？


・バスに乗っているときに、運転手がブレーキ踏んだり、ギアチェンのときアクセルをいったん戻したりするときに、「カックン」


・クルマの運転で、ブレーキを一定の強さで踏み続けていて、実際クルマが停止した瞬間の「カックン」
（動摩擦力による負の加速度が、速度に依存せずに速度がゼロでないうちは一定で、それが、速度ゼロになった瞬間に負の加速度が急にゼロになるために「カックン」が起こる）


以上のことをわかって運転していれば、同乗者にとって快適な運転が出来ます。
赤信号が見えたらブレーキを踏み始め、その交差点の寸前ぐらいに来たら、ブレーキを徐々に弱めて、ふわっと停止。



Ｘをスカラーでなく、２～３次元のベクトルで考えれば、さらに、色々な例はあると思います。
例えば、急ハンドルのときに感じる衝撃とか。

proto · Answer

テイラー展開をご存じでしょうか？
ある関数y=f(x)があるときに
f'(x),f''(x),f'''(x)…が求まれば、f(x)をxの多項式で書くことができますよね。
これは言い換えると
f(x),f'(x),f''(x),f'''(x)…が求まると、グラフの形がわかるということです。
(逆に求まらないものはグラフが描けないことが多い)

ですからy'''だけでなくその他の導関数すべてが意味するのは、その関数のグラフの形なんです。
「形」の特徴の一部として増減や凹凸があり、それがy',y''だけを見ただけでわかるんです。
でもグラフの完全な形はy',y''をちょっと見ただけではわからないですよね、
完全な形まで知ろうと思えば残りの導関数を調べる必要があるんです。

oxbridge1985 · Answer

y'とy''の関係とy''とy'''の関係は同じです。
つまり、あなたの表現で言えば、y'''はy''の増減を表し、y'''はy'の凹凸を意味します。
連鎖している感じですね。

それとも、もっと深く知りたいということでしょうか？

関数のグラフでy'''はなにを意味するのですか？

ｙ' は正ならば増加，負ならば減少だけでなく，絶対値が大きければ急勾配，小さければ緩勾配もわかります。

この回答への補足

No.4 の siegmund です．

微分というのは変化率を取り出す操作ですので、グラフを視覚的に読み取ったときに

＃３の者です。

> そして、y'''の値が正か負であるかを、視覚的に見分ける方法があれば教えていただきたいです。

関数のグラフで，

単に、関数のグラフで考えると、３次微分以降は、つまんないんですが、

テイラー展開をご存じでしょうか？

y'とy''の関係とy''とy'''の関係は同じです。

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