No.4ベストアンサー
- 回答日時:
二項定理を用いると良いでしょう
2^n=(3-1)^n=3^n+3^(n-1)*(-1)*n+・・・+3*(-1)^(n-1)+(-1)^n
3^n,3^(n-1)*(-1)*n,・・・,3*(-1)^(n-1)は3で割り切れるので、3^n+3^(n-1)*(-1)*n+・・・+3*(-1)^(n-1)は3で割り切れる。
よって
2^n=3^n+3^(n-1)*(-1)*n+・・・+3*(-1)^(n-1)+(-1)^n=3×(整数)+(-1)^nとなる。
したがって
nが偶数のとき(-1)^n=1だから
2^n=3×(整数)+1
nが奇数のとき(-1)^n=-1だから
2^n=3×(整数)-1=3×(整数)-3+2=3×{(整数)-1}+2=3×(整数)+2
となるので
「2^(偶数)を3で割ると1となり、2^(奇数)を3で割ると2となる」とあんることがわかります。
No.3
- 回答日時:
2=(3-1)
(3-1)^2n → ・・・・・・+1 (最後は+1になる)
(3-1)^(2n-1) →・・・・・-1 (最後は-1になる)
最後の項以外は3の倍数だから 余りは最後の項で
決まる。
でどうでしょう。
No.1
- 回答日時:
数学はさっぱりなのですが、思いついたので、
1) 1の時
2) nの時、
3) n+1の時なりたてば、どんなnでも成り立つ、ってなかった
でしょうか。
一つ目の 2^偶数は、偶数を 2nで表して、3で割ったあまりが1は
3*m+1で表して
2^(2n) = 3*m + 1
ここで、
1) n=1の時
2^(2*1) = 4 = 3 + 1 (あまりが1)
2) n+1の時
2^(2*(n+1)) = 2^(2n) * 2^2 = 2^(2n) * 4 = (3*m + 1) * (3 + 1)
= (3*m + 1) * 3 + (3*m + 1)*1
= [3で割り切れる値 (3*m+1)*3 ] + (3*m + 1)
なので、 1, n, n+1の時すべて 3で割るとあまりが1です。
証明の書き方などは忘れているので、参考書を見て下さい。
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