こんにちは。分からない問題があります。
せめてヒントだけでもいただければ、と思います。

∫(2/√(9-X^2))dx

で、
u= √(9-X^2) とおくと、それを微分して
du=-x/(√(9-X^2)・dx
となりますよね。そしてそれを元の式で
使いたい、と思うのですが、分子のxが余分で
どうも使えそうに有りません。
なにか他にいい方法は無いでしょうか?

宜しくお願いします。

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A 回答 (4件)

一般に、


(1)1/√(1-(ax)^2)のような場合には axをsinθまたはcosθで、
(2)1/√(1+(ax)^2)のような場合には axをtanθで置換します。

(1)の場合は (sinθ)^2+(cosθ)^2=1を、
(2)の場合は 1+(tanθ)^2 = 1/(cosθ)^2を適用してルートを外します。

今の場合、2/(3√1 + x^2/9) より(1)の場合が使えると思います。
また、計算の過程で(sinθ)^2などが出てきたら
「倍角の公式」で次数を落とします。
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Xとxは同じ記号のタイプミスでしょうね。


既に回答は出て居るんで、蛇足ではありますが


|x|≦3という条件がなくても計算できるようにするには、
x = 3 sin (iθ) (θは実数、iは虚数単位)
と置く手です。
3 sin (iθ)= 3 i sinh(θ)
dx/dθ = 3i cosh(θ) (sinh, coshは双曲線関数)
であり
F(x) = ∫(2/√(9-x^2))dx
 = ∫(2/(3√(1+(sinh(θ))^2)))(dx/dθ) dθ
 = (2/3)i∫cosh(θ)/(√(1+(sinh(θ))^2)) dθ
 = (2/3)i∫cosh(θ)/(√(cosh(θ))^2)) dθ
任意のθについてcosh(θ)≧0ですから
√(cosh(θ))^2) = cosh(θ)
であり、したがって、
F(x) = (2/3)i∫(cosh(θ)/cosh(θ)) dθ
 = (2/3)iθ+C
んで|x|≦3なら
x = 3 sin (iθ)
より
iθ = arcsin(x/3)
ですし、|x|≧3なら
x = 3 i sinh(θ)
より
-ix/3 = sinh(θ)
つまり
θ= arcsinh(-ix/3)
 = arcsinh(((x/3)^2-1+√((x/3)^2-1))/2)-i arcsinh((1+√(x/3))^2-√(1-(x/3))^2)/2)
そして、
 arcsinh(y) = ln(√(y+√(1+y^2))) (yは実数、lnは自然対数)
です。

いや、stomachmanは計算間違いの常習犯ですんで、真に受けちゃいけません。
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すみません,先程の回答タイプミスです。

以下の訂正お願いします。

 「t = 3・sinX 又は t = 3・sinX と置いたら?」

     ↓

 「X = 3・sinθ 又は X = 3・cosθ と置いたら?」

あぁ,恥ずかしい・・・
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もう20年以上前の記憶ですので自信なしですが。



 t = 3・sinX 又は t = 3・sinX と置いたら?

2つのどちらが良いかは積分範囲で考えたような・・・
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