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問題.x^2+y^2=26 xy=5 の時、y/x を求めよ。x>y 、x>0、y>0である。(^2は二乗を表します。)
対称式と言うのでしょうか、よく分かりませんが、答えが無くて困っております。どうぞ、お力を貸してください。私はこう解いてみました。
(x+y)^2=x^2+2xy+y^2 なので、それぞれ代入すると
(x+y)^2=26+2*5 になります。x+y>0なので
x+y=6 になります。ここから、xを移項して
y=6-x となり、これを xy=5 に代入します。
x(6-x)=5 となり、れを解くと
x^2-6x+5=0 より x=1,5 となります。
x+y=6 なので、y=5,1 になり、x>y なので、x=5 y=1
よって、y/x は 1/5
ここで、質問なのですが、このようにxとyをいちいち求めずに解く方法はあるのでしょうか?(x+y)^2=x^2+2xy+y^2 を使って、x+yを求めるように、何らかの公式を使ったり、x^2+y^2=26 xy=5 の二つの式を変形させたりして、y/x や x/y いっぺんに(xとyを別々に求めることなく)求めることは可能なのでしょうか?どうぞ、よろしくお願いします。
No.2ベストアンサー
- 回答日時:
> x^2+y^2=26 xy=5
両辺をx^2で割って
1+(y/x)^2=26/x^2
x=5/yより
1+(y/x)^2=26y/5x
整理して
5(y/x)^2-26(y/x)+5=0
y/xについてとくと
y/x=5 or 1/5
x>yより
y/x=1/5
この回答への補足
早速の回答ありがとうございます。すいませんが
>x=5/yより
1+(y/x)^2=26y/5x
のところがよく分かりません。理解力が無くて申し訳ありません。
1+(y/x)^2=26/x^2 の右辺に x=5/y を代入すれば
1+(y/x)^2=26/(5/y)^2 となりますよね?どうすれば、上記の形に持っていくことができるのでしょうか?お手数ですが、よろしくお願いします。
No.6
- 回答日時:
> 1+(y/x)^2=26/x^2 の右辺に x=5/y を代入すれば
> 1+(y/x)^2=26/(5/y)^2 となりますよね?どうすれば、上記の形に持っていくことができるのでしょうか?
26/x^2 を 26/(x*x) と分解して、片方のxだけにx=5/yを代入してください。
すると、
26/(x*x) = 26/(x*5/y) = 26y/5x
となります。
これらの操作は、方程式の未知数を(y/x)だけにするための操作で、
本質的にはANo.3の回答と同じ事をしています。
回答ありがとうございました。なるほど、xの片方だけに入れるのですね。分かりました。非常に参考になりました。ありがとうございました。
No.4
- 回答日時:
x^2+y^2=26 より
x=√26cosθ
y=√26sinθ
とおく。ここでx>y 、x>0、y>0 より
0<θ<π/4
xy=5 より
26sinθcosθ=5 よって
sin(2θ)=5/13
cos(2θ)=12/13
(y/x)^2=(tanθ)^2={1-cos(2θ)}/{1+cos(2θ)}=1/25
y/x>0 より y/x=1/5
という方法もありました。
回答ありがとうございました。これは、完全に私の数学のレベルをはるかに超えています。申し訳ありません。また、いつか postro さんの仰っておられる事が理解できるよう、勉強したいと思います。ありがとうございました。
No.1
- 回答日時:
>このようにxとyをいちいち求めずに解く方法はあるのでしょうか?
y/x やx/y を一度に求めるのでしたら、次のようにしてはいかがでしょうか。
x^2+y^2=26の両辺をxyで割りますと、
x^2/xy+y^2/xy=26/xy
⇔x/y+y/x=26/5
ここで、x/y=α、y/x=βとしますと、x>y 、x>0、y>0ですから、
α+β=26/5、α>β
となります。またαとベータの積を考えると、
αβ=(x/y)・(y/x)=1
となります。
さて、このようなαとβを解にもつtの2次方程式を考えますと、回と係数の関係から次のようになります。
t^2-(α+β)t+αβ=0
⇔t^2-(26/5)・t+1=0
⇔25t^2-26t+5=0
⇔(5t-1)(t-5)=0
∴t=1/5, 5
ここで、α>βですから、
α=5、β=1/5
になりますので、求めるy/xは1/5ということが分かります。
早速の回答、ありがとうございました。数年ぶりに数学をやる者にとっては、なかなか難しいですが、とても参考になりました。ありがとうございました。
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