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円に内接する四角形ABCDにおいて、AB = 13 , BC = 14 , CD = 4 , DA = 13 とする。

( 1 ) 線分ACの長さを求めよ。
AC = 15
( 2 ) sin ∠ ABC の値を求めよ。
sin ∠ ABC = 12/13
( 3 ) 四角形ABCDの面積を求めよ。
S = 108
( 4 ) 線分AC と線分 BD の交点をEとする。AEの長さを求めよ。

△ ABC と △ CBD は BD を底辺とすると底辺共通なのでその面積比は高さの比となる
AE : EC = △ ABD : △ CBD
= 1/2 ・13・13・sin∠ BAD : 1/2 ・14・14・sin ∠BCD
= 13・13 : 14・4
= 169 : 56
よって
AE = AC × 169 / ( 169 + 56 )
= 15 × 169 / 225 = 169 / 15

( 4 )の「△ ABC と △ CBD は BD を底辺とすると底辺共通なのでその面積比は高さの比となる 」 はわかるんですが
「 AE : EC = △ ABD : △ CBD 」の、なぜ AE : EC = 面積比 になるんですか?
というか、なぜ AE : EC = 高さの比 になるんですか?

A 回答 (2件)

>>「 AE : EC = △ ABD : △ CBD 」の、なぜ AE : EC = 面積比 になるんですか?


というか、なぜ AE : EC = 高さの比 になるんですか?

AからBDに垂線を引いてください。交点をXとします。すると△ ABDのたかさはAXです。∠AEX=θとおくとAX=AEsinθ
同様に
CからBDに垂線を引いてください。交点をYとします。すると△ CBDのたかさはCYです。∠CEY=θ(対頂角)とおくとCY=CEsinθ


△ ABD : △ CBD=1/2×BD×AX:1/2×BD×CY=1/2×BD×AEsinθ:1/2×BD×CEsinθ=AE : EC
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この回答へのお礼

遅くなりました、ありがとうございます。

お礼日時:2007/07/04 23:19

>AE : EC = 高さの比



点Aから、同じく点Cから、 線分BDに対して、垂線を引けば
相似な直角三角形が現れる。 これに気がつけば疑問は解消。
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この回答へのお礼

遅くなりました、ありがとうございます。

お礼日時:2007/07/04 23:19

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