No.2ベストアンサー
- 回答日時:
ANo.1さんのご回答で良いと思いますが、詳しく説明してみますね。
調和振動子のエネルギーは普通は、
ε(n) = hω ( n + 1/2 )
ですが、結果の式から逆算して、零点振動のエネルギー hω/2 を考えないことにしているみたいですね。そこで、
ε(n) = hω n
で考えます。(n = 0,1,2,… ∞、h は hバーの意味)
正準分布で、その実現確率 p(ε) は、
p(ε) = e^{-ε/τ}/Z = e^{-βε}/Z
になります。β=1/τ=1/(k_B T)
Z = Σ_{n=0}^{∞} e^{-ε(n)/τ}
= 1/(1 - exp(-hω/τ)) = 1/(1-exp(-βhω))
は分配関数です。
調和振動子の平均エネルギーは、
U = <ε> = Σ_{n=0}^{∞} ε(n) p(ε(n))
となるのは良いですね。確率と期待値の関係です。
正準分布の確率の式を代入すると、
U = (1/Z) Σ_{n=0}^{∞} ε(n) exp(-βε(n))
= - (1/Z) ∂/∂β [Σ_{n=0}^{∞} exp(-βε(n))]
= - (1/Z) ∂Z/∂β
= - ∂(log Z)/∂β
と書けます。これがANo.1さんのご回答にある式です。
よく使う式なので覚えておくとよいです。
そして具体的に代入してみると、
U = ∂/∂β log(1-exp(-βhω))
= +hω exp(-βhω)/(1-exp(-βhω))
= hω/(exp(-βhω)-1)
と求まります。
No.3
- 回答日時:
ANo.2です。
最後のところ、
U = hω/(exp(-βhω)-1)
がミスプリで、正しくは、
U = hω/(exp(βhω)-1)
です。わかると思いますが念のため。
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